Witam. Mam takie zadanie:
Znajdź równanie stycznej do okręgu \(\displaystyle{ (x-1)^{2} +(y-1)^{2}=6}\) równoległej do prostej \(\displaystyle{ 3x-y+7=0}\).
Wiem jak je zrobić, ale napotykam po drodze problem.
Wyznaczyłem sobie równanie tej stycznej:\(\displaystyle{ y=3x+b}\), a później sklamrowałem to z równaniem okręgu i liczyłem. Chciałem obliczyć z tego deltę dla \(\displaystyle{ x}\), następnie przyrównać ją do zera i powinny mi wyjść dwa rozwiązania. Po drodze nastąpiła przeszkoda, z którą nie wiem jak się uporać. Mój układ równań po podstawieniu i pewnym etapie obliczeń wyglądał tak:
\(\displaystyle{ -10x -10x^2-1 -6xb -b^2-2b=0}\)
Liczyłem to dwa razy, ale możliwe, że zrobiłem błąd gdzieś po drodze.
Tutaj nie wiem jak zsumować moje \(\displaystyle{ b}\) ze wzoru \(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac}\) , gdyż mam \(\displaystyle{ -10x}\) oraz \(\displaystyle{ -6xb}\).
Co z tym robić?
Pozdrawiam i życzę wesołych świąt.
Styczna do okręgu.
Styczna do okręgu.
Ostatnio zmieniony 24 gru 2009, o 09:58 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj między tagami[latex] i [/latex]
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj między tagami
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Styczna do okręgu.
Po podstawieniu \(\displaystyle{ y=3x+b}\) do równania okręgu mamy \(\displaystyle{ (x-1)^2+(3x+b-1)^2=6}\), czyli \(\displaystyle{ 10x^2+(6(b-1)-2)x+(b-1)^2-5=0}\), tj. \(\displaystyle{ 10x^2+(6b-8)x+(b^2-2b-4)=0}\).
Dalej, \(\displaystyle{ 0=\Delta=(6b-8)^2-4\cdot 10(b^2-2b-4)=-4b^2-16b+224=0}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ b^2+4b-56=0}\), czyli \(\displaystyle{ b=\frac{-4-4\sqrt{15}}{2}=-2-2\sqrt{15}}\) lub \(\displaystyle{ b=\frac{-4+4\sqrt{15}}{2}=-2+2\sqrt{15}}\).
Można też było uniknąć rozwiązywania równania kwadratowego z parametrem. Styczna do okręgu jest prostą odległą od środka okręgu od długość jego promienia.
Równanie szukanej stycznej w postaci ogólnej jest następujące: \(\displaystyle{ 3x-y+b=0}\).
Zatem ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy \(\displaystyle{ \frac{|3\cdot 1-1\cdot 1+b|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\sqrt{6}}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ |b+2|=\sqrt{60}=2\sqrt{15}}\), tj. \(\displaystyle{ b+2=-2\sqrt{15}}\) lub \(\displaystyle{ b+2=2\sqrt{15}}\) i w konsekwencji mamy \(\displaystyle{ b=-2-2\sqrt{15}}\) lub \(\displaystyle{ b=-2+2\sqrt{15}}\).
Dalej, \(\displaystyle{ 0=\Delta=(6b-8)^2-4\cdot 10(b^2-2b-4)=-4b^2-16b+224=0}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ b^2+4b-56=0}\), czyli \(\displaystyle{ b=\frac{-4-4\sqrt{15}}{2}=-2-2\sqrt{15}}\) lub \(\displaystyle{ b=\frac{-4+4\sqrt{15}}{2}=-2+2\sqrt{15}}\).
Można też było uniknąć rozwiązywania równania kwadratowego z parametrem. Styczna do okręgu jest prostą odległą od środka okręgu od długość jego promienia.
Równanie szukanej stycznej w postaci ogólnej jest następujące: \(\displaystyle{ 3x-y+b=0}\).
Zatem ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy \(\displaystyle{ \frac{|3\cdot 1-1\cdot 1+b|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\sqrt{6}}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ |b+2|=\sqrt{60}=2\sqrt{15}}\), tj. \(\displaystyle{ b+2=-2\sqrt{15}}\) lub \(\displaystyle{ b+2=2\sqrt{15}}\) i w konsekwencji mamy \(\displaystyle{ b=-2-2\sqrt{15}}\) lub \(\displaystyle{ b=-2+2\sqrt{15}}\).