Punkt wewnatrz okregu + rownanie cieciwy okregu

[Tommy]

Witam

Bardzo prosze o pomoc w rozwiazaniu tego zadania:

Wykazac ze punkt M(3,0) lezy wewnatrz okregu \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} - 4x + 2y + 1 = 0}\) oraz napisac rownanie cieciwy tego okregu ktora punkt M dzieli na polowy.

pozdrawiam

[anna_]

Wyznacz współrzędne środka okręgu i jego promień.
Policz długość odcinka \(\displaystyle{ MS}\) (\(\displaystyle{ S}\) środek okręgu) i przyrównaj go do długości promienia.

Równanie cięciwy:
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ M}\)
Znajdź równanie prostej prostopadłej do tej wyżej znalezionej i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ M}\)

[Tommy]

a czy bylby ktos tak mily i to obliczyl? szukam i szukam tego a nie moge dojsc jak to zrobic

[anna_]

Zapisz chociaż sam równanie okręgu w postaci \(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\), to dalej pomogę.

[Tommy]

\(\displaystyle{ (x-2) ^{2} + (y+1)^{2} = 2 ^{2}}\)

wiec S=(2,-1)
r=2

co za tym idzie \(\displaystyle{ |\vec{MS}| = \sqrt{2}}\) wiec \(\displaystyle{ |\vec{MS}| < r}\)

ale tego rownania cieciwy to nie rozumiem

[anna_]

Wyprowadzać tego nie będę.
\(\displaystyle{ (x-2)^2+(y+1)^2=2^2}\)
\(\displaystyle{ S=(2;-1)}\)
\(\displaystyle{ r=2}\)

\(\displaystyle{ M(3,0)}\)

Obliczam \(\displaystyle{ |MS|}\)
\(\displaystyle{ |MS|= \sqrt{(x_M-x_S)^2+(y_M-y_S)^2}}\)
\(\displaystyle{ |MS|= \sqrt{(3-2)^2+(0-(-1))^2}}\)
\(\displaystyle{ |MS|= \sqrt{1^2+1^2}}\)
\(\displaystyle{ |MS|= \sqrt{2}< r}\)
Czyli punkt \(\displaystyle{ M}\) leży wewnątrz okręgu

Równanie prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ M}\)
\(\displaystyle{ y-y_{S}=\frac{y_{M}-y_{S}}{x_{M}-x_{S}}\cdot(x-x_{S})}\)

\(\displaystyle{ y-(-1)=\frac{0-(-1)}{3-2}\cdot(x-2)}\)

\(\displaystyle{ y+1=\frac{1}{1}\cdot(x-2)}\)
\(\displaystyle{ y+1=x-2}\)
\(\displaystyle{ y=x-2-1}\)
\(\displaystyle{ y=x-3}\)

Równanie prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ y=x-3}\) jest postaci \(\displaystyle{ y=-x+b}\)
Ponieważ ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ M(3,0)}\), więc jego wspólrzędne muszą je spełniać
\(\displaystyle{ 0=-3+b}\)
\(\displaystyle{ b=3}\)

Równanie cięciwy tego okręgu którą punkt \(\displaystyle{ M}\)dzieli na połowy jest więc postaci \(\displaystyle{ y=-x+3}\)

[Tommy]

podziekowal:)

[anna_]

ale tego rownania cieciwy to nie rozumiem

Zrób rysunek.
\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to końce cięciwy.
Punkt \(\displaystyle{ M}\) ma być środkiem, trójkąt ASB będzie równoramienny, a odcinek \(\displaystyle{ SM}\)
będzie jego wysokością.
Cięciwa będzie prostopadła do odcinka \(\displaystyle{ SM}\) i stąd to równanie.