izometria+przekształcenie
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 12 lis 2009, o 18:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: woj.lubelskie
izometria+przekształcenie
Każdemu punktowi \(\displaystyle{ X}\) płaszczyzny przyporządkujmy taki punkt \(\displaystyle{ X'}\), że \(\displaystyle{ \vec{OX}+\vec{OX'} = [1, -1]}\), gdzie \(\displaystyle{ O(0,0)}\). Czy tak określone przekształcenie jest izometrią? co możesz powiedzieć o zbiorze punktów stałych tego przekształcenia?
Ostatnio zmieniony 21 gru 2009, o 16:02 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
izometria+przekształcenie
Niech \(\displaystyle{ X=(x,y), X'=(x',y')}\). Wtedy \(\displaystyle{ [x,y]+[x',y']=[1,-1]}\), tj. \(\displaystyle{ [x+x',y+y']=[1,-1]}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ x'=1-x, y'=-1-y}\) i można określić rozważane przekształcenie \(\displaystyle{ P}\) wzorem
Wyznaczmy teraz punkty stałe izometrii \(\displaystyle{ P}\), tj. takie punkty \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ X'=X}\). Mamy \(\displaystyle{ (1-x,-1-y)=P(x,y)=(x,y)}\), skąd \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}}\). Istnieje zatem jedyny punkt stały izometrii \(\displaystyle{ P}\), jest nim \(\displaystyle{ X=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})}\).
(Zauważmy, że mogliśmy wyznaczyć ten jedyny punkt stały nie korzystając ze wzoru przekształcenia \(\displaystyle{ P}\), a jedynie z założenia.
Istotnie, skoro \(\displaystyle{ X'=X}\), to \(\displaystyle{ [1,-1]=\vec{OX}+\vec{OX'}=2\vec{OX}}\) i wobec tego mamy \(\displaystyle{ \vec{OX}=[\frac{1}{2},-\frac{1}{2}]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ O=(0,0)}\), to musi być \(\displaystyle{ X=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})}\).)
\(\displaystyle{ P(x,y)=(1-x,-1-y)}\).
Aby stwierdzić, czy \(\displaystyle{ P}\) jest izometrią, obierzmy dowolne punkty \(\displaystyle{ Z=(u,v), Z'=(u',v')}\). Mamy \(\displaystyle{ |P(Z')-P(Z)|=|P(u',v')-P(u,v)|=\sqrt{(1-u'-1+u)^2+(-1-v'+1+v)^2}=\sqrt{(u-u')^2+(v-v')^2}=\sqrt{(u'-u)^2+(v'-v)^2}=|Z'-Z|}\),
czyli \(\displaystyle{ P}\) jest izometrią (zachowuje odległości dwóch dowolnych punktów).Wyznaczmy teraz punkty stałe izometrii \(\displaystyle{ P}\), tj. takie punkty \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ X'=X}\). Mamy \(\displaystyle{ (1-x,-1-y)=P(x,y)=(x,y)}\), skąd \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}}\). Istnieje zatem jedyny punkt stały izometrii \(\displaystyle{ P}\), jest nim \(\displaystyle{ X=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})}\).
(Zauważmy, że mogliśmy wyznaczyć ten jedyny punkt stały nie korzystając ze wzoru przekształcenia \(\displaystyle{ P}\), a jedynie z założenia.
Istotnie, skoro \(\displaystyle{ X'=X}\), to \(\displaystyle{ [1,-1]=\vec{OX}+\vec{OX'}=2\vec{OX}}\) i wobec tego mamy \(\displaystyle{ \vec{OX}=[\frac{1}{2},-\frac{1}{2}]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ O=(0,0)}\), to musi być \(\displaystyle{ X=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})}\).)