izometria+przekształcenie

[KRATKA]

Każdemu punktowi \(\displaystyle{ X}\) płaszczyzny przyporządkujmy taki punkt \(\displaystyle{ X'}\), że \(\displaystyle{ \vec{OX}+\vec{OX'} = [1, -1]}\), gdzie \(\displaystyle{ O(0,0)}\). Czy tak określone przekształcenie jest izometrią? co możesz powiedzieć o zbiorze punktów stałych tego przekształcenia?

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ X=(x,y), X'=(x',y')}\). Wtedy \(\displaystyle{ [x,y]+[x',y']=[1,-1]}\), tj. \(\displaystyle{ [x+x',y+y']=[1,-1]}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ x'=1-x, y'=-1-y}\) i można określić rozważane przekształcenie \(\displaystyle{ P}\) wzorem

\(\displaystyle{ P(x,y)=(1-x,-1-y)}\).

Aby stwierdzić, czy \(\displaystyle{ P}\) jest izometrią, obierzmy dowolne punkty \(\displaystyle{ Z=(u,v), Z'=(u',v')}\). Mamy

\(\displaystyle{ |P(Z')-P(Z)|=|P(u',v')-P(u,v)|=\sqrt{(1-u'-1+u)^2+(-1-v'+1+v)^2}=\sqrt{(u-u')^2+(v-v')^2}=\sqrt{(u'-u)^2+(v'-v)^2}=|Z'-Z|}\),

czyli \(\displaystyle{ P}\) jest izometrią (zachowuje odległości dwóch dowolnych punktów).

Wyznaczmy teraz punkty stałe izometrii \(\displaystyle{ P}\), tj. takie punkty \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ X'=X}\). Mamy \(\displaystyle{ (1-x,-1-y)=P(x,y)=(x,y)}\), skąd \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}}\). Istnieje zatem jedyny punkt stały izometrii \(\displaystyle{ P}\), jest nim \(\displaystyle{ X=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})}\).

(Zauważmy, że mogliśmy wyznaczyć ten jedyny punkt stały nie korzystając ze wzoru przekształcenia \(\displaystyle{ P}\), a jedynie z założenia.
Istotnie, skoro \(\displaystyle{ X'=X}\), to \(\displaystyle{ [1,-1]=\vec{OX}+\vec{OX'}=2\vec{OX}}\) i wobec tego mamy \(\displaystyle{ \vec{OX}=[\frac{1}{2},-\frac{1}{2}]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ O=(0,0)}\), to musi być \(\displaystyle{ X=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})}\).)