Wyznacz te wartości k, dla których P jest izometrią

[gabii]

Nie mogę sobie dać z nim rady.

Przekształcenie P jest określone następująco: \(\displaystyle{ P((x, y)) = (x + k , (k ^{2} – 1)y)}\), gdzie k jest parametrem.
a) Wyznacz te wartości k, dla których przekształcenie P jest izometrią.
b) Dla każdej wartości k wyznaczonej w punkcie a) nazwij przekształcenie izometryczne P.

[lukasz1804]

a) Weźmy dwa dowolne punkty \(\displaystyle{ (x_1,y_1), (x_2,y_2)}\). Skoro \(\displaystyle{ P}\) jest izometrią, to \(\displaystyle{ |P(x_2,y_2)-P(x_1,y_1))|=|(x_2,y_2)-(x_1,y_1)|}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ [(x_2+k)-(x_1+k)]^2+[(k^2-1)y_2-(k^2-1)y_1]^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\), więc \(\displaystyle{ (k^2-1)^2=1}\), tj. \(\displaystyle{ k^2-1=-1}\) lub \(\displaystyle{ k^2-1=1}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ k=-\sqrt{2}, k=0}\) lub \(\displaystyle{ k=\sqrt{2}}\).

b) Dla \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ P(x,y)=(x,-y)}\), więc \(\displaystyle{ P}\) jest symetrią względem osi odciętych.
Dla \(\displaystyle{ k=-\sqrt{2}}\) mamy translację o wektor \(\displaystyle{ [\sqrt{2},0]}\), a dla \(\displaystyle{ k=\sqrt{2}}\) - translację o wektor \(\displaystyle{ [-\sqrt{2},0]}\).