położenie wektorów w przestrzeni

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Tommy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 23 wrz 2008, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: żory
Podziękował: 11 razy

położenie wektorów w przestrzeni

Post autor: Tommy »

Witam

bardzo proszę o pomoc w takim zadaniu:

Sprawdzić, że wektory \(\displaystyle{ \vec{u} = [1,0,1], \vec{v} = [2,-1,0], \vec{w} = [0,2,1]}\) nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Przedstawić wektor \(\displaystyle{ [3,1,-1]}\) za pomocą powyższych wektorów.
Czy wektory \(\displaystyle{ [1,0,1], [2,-1,0], [3,-2,-1]}\) leżą w jednej płaszczyźnie?

dziękuję za pomoc

pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 20 gru 2009, o 10:01 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zamieszczanych zadań.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

położenie wektorów w przestrzeni

Post autor: Crizz »

Żeby zbadać, czy trzy wektory leżą w jednej płaszczyźnie, trzeba po prostu sprawdzić, czy te wektory są liniowo niezależne. Jeśli tak, to nie mogą leżeć w jednej płaszczyźnie, bo generują całą przestrzeń \(\displaystyle{ \Re^{3}}\).
Tommy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 23 wrz 2008, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: żory
Podziękował: 11 razy

położenie wektorów w przestrzeni

Post autor: Tommy »

szczerze mowiac niebardzo rozumiem, czy moglby ktos to obliczyc?
dziekuje
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

położenie wektorów w przestrzeni

Post autor: Crizz »

Sprawdzasz, w jaki sposób można przedstawić wektor zerowy za pomocą liniowej kombinacji danych wektorów:
\(\displaystyle{ i\vec{u} +j\vec{v} +k\vec{w}=\vec{0}}\)
\(\displaystyle{ i[1,0,1] + j[2,-1,0] + k[0,2,1]=[0,0,0]}\)
\(\displaystyle{ [i+2j,-j+2k,i+k]=[0,0,0]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} i+2j=0 \\ -j+2k=0 \\ i+k=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} i=-2j \\ k=2j \\ 3j=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} i=0 \\ j=0 \\ k=0 \end{cases}}\)

Można to zatem zrobić tylko w trywialny sposób, czyli te wektory są liniowo niezależne = niewspołpłaszczyznowe.

Teraz chcesz za pomocą tych wektorów przedstawić wektor \(\displaystyle{ [3,1,-1]}\). Piszesz więc:
\(\displaystyle{ i\vec{u} +j\vec{v} +k\vec{w}=[3,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ i[1,0,1] + j[2,-1,0] + k[0,2,1]=[3,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ [i+2j,-j+2k,i+k]=[3,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} i+2j=3 \\ -j+2k=1 \\ i+k=-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} i=-3 \\ j=3 \\ k=2 \end{cases}}\)
Rozwiązaniem jest więc \(\displaystyle{ -3\vec{u} +3\vec{v} +2\vec{w}}\)-- 21 grudnia 2009, 12:15 --Żeby sprawdzić, czy wektory \(\displaystyle{ [1,0,1], [2,-1,0], [3,-2,-1]}\) leżą w jednej płaszczyźnie, próbujesz przedstawić wektor zerowy za pomocą liniowej kombinacji tych wektorów:
\(\displaystyle{ i[1,0,1]+j[2,-1,0]+k[3,-2,-1]=[0,0,0]}\)
\(\displaystyle{ [i+2j+3k,-j-2k,i-k]=[0,0,0]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} i+2j+3k=0 \\ -j-2k=0 \\ i-k=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} k+2j+3k=0 \\ -j-2k=0 \\ i=k \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4k+2j=0 \\ -j-2k=0 \\ i=k \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} j+2k=0 \\ i=k \end{cases}}\)

Za pomocą tych trzech wektorów można zatem w nietrywialny sposób przedstawić wektor zerowy (np. kładąc \(\displaystyle{ i=1,j=-2,k=1}\)), zatem te wektory leżą w jednej płaszczyźnie.
ODPOWIEDZ