Wektor przedstawic w postaci sumy dwoch wektorow

[Tommy]

Witam

prosze o pomoc z takim zadaniem:

Wektor \(\displaystyle{ \vec{a}=[5,-1,-3]}\) przedstawic w postaci sumy dwoch wektorow, z ktorych jeden jest rownolegly, a drugi prostopadly do wektora \(\displaystyle{ \vec{b}=[-1,1,2]}\)

[JankoS]

Niech \(\displaystyle{ \vec{x} =[-a,a,2a] \parallel \vec{b}, \ \vec{y}=[b,b,0] \perp \vec{b}, \ ( \vec{x} \neq \vec{0}, \vec{y} \neq \vec{0}) .}\)
\(\displaystyle{ [-a,a,2a]+[b,b,0]=[-a+b,a+b,2a]=[5,-1,-3] \Leftrightarrow \begin{cases} -a+b=5 \\ a+b=-1\\2a=-3 \end{cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a,b \in \emptyset}\).
Nie ma niezerowych wektorów spełniających warunki zadania.
Podobnie łatwo sprawdzić, że nie ma takich wektorów, z których jeden (lub obydwa) jest zerowy (są zerowe).
Odnoszę wrażenie, że robię cośnie tak. Spróbuję inaczej.
Niech
\(\displaystyle{ [-a,a,2a]+[x,y,z]=[x-a,y+a,z+2a]=[5,-1,-3] \Leftrightarrow (x=5+a,y=-1-a,z=-3-2a).}\)
\(\displaystyle{ [x,y,z] \circ [-1,1,2]=[5+a,-1-a,-3-2a]\circ [-1,1,2]=[-5-a,-1-a,-6-4a].}\)
Ten ostatni jest niezerowy dla dowolnego a, a więc [x,y,z] nie jest prostopadły do [-1,1,2].
Wyszło to samo, co poprzednio.
Najchętniej bym to skasował. ale być może robię bład, który Kolega wychwyci.