Kąt miedzy przekatnymi rownolegloboku

[Tommy]

Witam

Prosze o pomoc w rozwiazaniu takiego zadania:

Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku rozpiętego na wektorach:

\(\displaystyle{ \vec{a}=\vec{2m}+\vec{h}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}=\vec{m}-\vec{h}}\) gdzie \(\displaystyle{ |\vec{m}|=|\vec{h}|=2}\) i \(\displaystyle{ \angle(\vec{m},\vec{h})= \frac{\pi}{3}}\)-- 19 grudnia 2009, 19:33 --bardzo prosze o pomoc w tym zadaniu

[BettyBoo]

Jeśli równoległobok jest rozpięty na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\), to z definicji działań na wektorach mamy, że jego przekątne są wektorami \(\displaystyle{ \vec{a} +\vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{a} -\vec{b}}\) (lub \(\displaystyle{ \vec{b}-\vec{a}}\)). Wobec tego kąt między tymi przekątnymi to mniejszy z kątów, jakie tworzą np wektory \(\displaystyle{ \vec{a} +\vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{a} -\vec{b}}\).

\(\displaystyle{ \vec{a} +\vec{b}=3\vec{m},\ \vec{a} -\vec{b}=\vec{m}+2\vec{h} \ \Rightarrow \\ \\
\cos\alpha=\frac{(\vec{a} +\vec{b})\circ (\vec{a} -\vec{b} )}{|\vec{a} +\vec{b}|\ |\vec{a} -\vec{b} |}}\)

Podstawić postać \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\), uprościć z własności iloczynu skalarnego, podstawić dane z zadania i wyliczyć. Szukany kąt to \(\displaystyle{ \beta=\arccos |\cos\alpha|}\).

Pozdrawiam.

PS Można oczywiście zacząć od określenia dokładnej postaci drugiej przekątnej (sprawdzając jaki kąt tworzą wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\)), ale to nieistotne.

[Tommy]

a czy bylby ktos tak mily i to rozwiazal bo niewiele szczerze mowiac z tego rozumiem??