Wykazać prawdziwość nierówności

[h3X]

Prosze o pomoc w wykazaniu prawdziwości poniższej nierówności:

a) \(\displaystyle{ x > ln(1+x), x>0}\)
b) \(\displaystyle{ 2xarctgx \ge ln(1+x^2)}\)

[Crizz]

b.) Niech \(\displaystyle{ f(x)=2xarctgx-ln(1+x^{2})}\), wówczas \(\displaystyle{ f'(x)=2arctgx}\). Pochodna jest ujemna dla \(\displaystyle{ x<0}\), dodatnia dla \(\displaystyle{ x>0}\), równa zeru dla \(\displaystyle{ x=0}\), przy czym \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Funkcja f ma zatem minimum globalne w \(\displaystyle{ x=0}\), równe zeru, czyli \(\displaystyle{ f(x) \ge 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in \Re}\), c.n.u.-- 14 grudnia 2009, 20:11 --Podobnie a.