pytanie o wektor prostopadły

[dżi-unit]

Każdą prostą na płaszczyźnie można przedstawić równaniem postaci Ax+By+C=0,
gdzie [A, B] są współrzędnymi dowolnego niezerowego wektora prostopadłego do naszej prostej. czy zna ktoś jakiś dowód lub wie dlaczego [A, B] to współrzędne wektora prostopadłego do prostej?

[BettyBoo]

Niech \(\displaystyle{ P_0=(x_0,y_0)}\) będzie pewnym ustalonym punktem oraz niech \(\displaystyle{ [A,B]}\) będzie wektorem. Skonstruujemy prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ P_0}\) i prostopadłą do \(\displaystyle{ [A,B]}\).

Niech \(\displaystyle{ P=(x,y)}\) będzie dowolnym punktem tej prostej. Wtedy wektor \(\displaystyle{ \vec{P_oP}=[x-x_0,y-y_0]}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ [A,B]}\) czyli ich iloczyn skalarny równy jest 0, a to znaczy \(\displaystyle{ 0=\vec{P_0P}\circ [A,B]=A(x-x_0)+B(y-y_0)=Ax+By+C,\ C=-Ax_0-By_0}\)

Analogiczna konstrukcja w przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) daje równanie płaszczyzny.

Pozdrawiam.