Pole trójkąta w układzie współrzędnych

[Glo]

Witam!

Ciężko mi przyporządkować to zadanie - lecz chyba tutaj pasuje najbardziej. Oto treść:

Oblicz pole trójkąta ABC mając dane współrzędne jego wierzchołków:
\(\displaystyle{ A=(1,2)}\)
\(\displaystyle{ B=(0,4)}\)
\(\displaystyle{ C=(-3,-3)}\)
Dodaj, że zadanie pojawiło się w kontekście równań prostych i prosiłbym uprzejmie o rozwiązanie go w tych właśnie 'klimatach'

[matshadow]

Hmm, to może skorzystaj ze wzoru Herona? Normalnie bym wykorzystał wzór wykorzystujący wyznacznik (ostatni w sekcji Pole powierzchni ... owierzchni)

[Glo]

Wiesz, marzę wręcz o otrzymaniu tasiemcowego pierwiastka z wzoru Herona
To może ja uściślę. Potrzebuję czegoś, co zdolny jest policzyć uczeń 1 kl. LO oraz powinno mieć to związek z równiami prostych. Ale dzięki za chęci

[Szemek]

Najprościej moim zdaniem:

\(\displaystyle{ A=(x_A,y_A) \\
B=(x_B,y_B) \\
C=(x_C,y_C)}\)

\(\displaystyle{ P_{{\Delta}{ABC}}=\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{ccc}x_{B}-x_{A}&y_{B}-y_{A}\\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}\end{array}\right||}\)
\(\displaystyle{ P_{{\Delta}{ABC}}=\frac{1}{2}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})|}\)

Większe pionowe kreski to wyznacznik macierzy, mniejsze pionowe kreski to wartość bezwzględna.


Inaczej:
- wybierasz dwa punkty,
- liczysz odległość pomiędzy punktami
- wyznaczasz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty,
- liczysz odległość trzeciego punktu od prostej
- \(\displaystyle{ P_{\Delta}=\frac{ah}{2}}\)

Jeszcze znalazłoby się parę sposobów...

[Glo]

A powiedz mi, dobrze to uczyniłem?:)

Odległość między A i B, z pitagorasa, wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt5}\).

Równanie prostej:
\(\displaystyle{ y=\frac{4-2}{0-1}*x+2-\frac{4-2}{0-1}*1}\)
\(\displaystyle{ y=-2x+4}\)

A z tego:

\(\displaystyle{ -2x+4-y=0}\)

Wyznaczamy odległość C:
\(\displaystyle{ \frac{|-2*-3+-1*-3+4|}{\sqrt{-2^2+-1^2}}=\frac{13}{\sqrt5}}\)

\(\displaystyle{ (\frac{13}{\sqrt5}*\sqrt5):2=13:2=6,5}\)

I jak?

[Szemek]

Tak, dobrze to uczyniłeś