Prosta \(\displaystyle{ \vec{l}=[1,0,-2]}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P_{0}=(0,0,1)}\).Wyznaczyc wspolrzedne punktu P symetrycznego wzgledem prostej l do punktu \(\displaystyle{ P_{1}=(1,1,1)}\).
rownanie kononiczne: \(\displaystyle{ \frac{x}{1}= \frac{z-1}{-2}}\), rownanie parametryczne: x=t, z=1-2t, y=0.
Nie wiem zbyt jak dalej.
wspolrzedne punktu
-
Poodzian
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 62 razy
wspolrzedne punktu
Najlepiej będzie znaleźć płaszczyznę prostopadłą do zadanej prostej i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P_1}\)
Wektor normalny płaszczyzny już znamy - będzie on równy wektorowi kierunkowemu prostej \(\displaystyle{ \vec{l}=[1, 0, -2]}\)
Obierz zatem dowolny punkt \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) i połącz go wektorowo z \(\displaystyle{ P_1}\)
W efekcie powstanie \(\displaystyle{ \vec{a}=[x-1, y-1, z-1]}\), a równanie szukanej płaszczyzny: \(\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{l}=0}\), a więc: \(\displaystyle{ (x-1)-2(z-1)=0}\)
Takie równanie płaszczyzny można zapisać teraz w postaci ogólnej: \(\displaystyle{ x-2z+1=0}\), a prostej w postaci parametrycznej i podstawić odpowiednie współrzędne, przez co znajdziemy punkt wspólny prostej i płaszczyzny do niej prostopadłej
\(\displaystyle{ t-2(1-2t)+1=0}\)
\(\displaystyle{ 5t=1}\), a ostatecznie \(\displaystyle{ t=\frac{1}{5}}\)
Punkt wspólny: \(\displaystyle{ A\left(\frac{1}{5}, 0, 1-2\frac{1}{5}\right)=A\left(\frac{1}{5}, 0, \frac{3}{5}\right)}\)
Teraz już wystarczy znaleźć współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{AP_1}}\) i znaleźć punkt będący przesunięciem \(\displaystyle{ A}\) o ten wektor
Wektor normalny płaszczyzny już znamy - będzie on równy wektorowi kierunkowemu prostej \(\displaystyle{ \vec{l}=[1, 0, -2]}\)
Obierz zatem dowolny punkt \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) i połącz go wektorowo z \(\displaystyle{ P_1}\)
W efekcie powstanie \(\displaystyle{ \vec{a}=[x-1, y-1, z-1]}\), a równanie szukanej płaszczyzny: \(\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{l}=0}\), a więc: \(\displaystyle{ (x-1)-2(z-1)=0}\)
Takie równanie płaszczyzny można zapisać teraz w postaci ogólnej: \(\displaystyle{ x-2z+1=0}\), a prostej w postaci parametrycznej i podstawić odpowiednie współrzędne, przez co znajdziemy punkt wspólny prostej i płaszczyzny do niej prostopadłej
\(\displaystyle{ t-2(1-2t)+1=0}\)
\(\displaystyle{ 5t=1}\), a ostatecznie \(\displaystyle{ t=\frac{1}{5}}\)
Punkt wspólny: \(\displaystyle{ A\left(\frac{1}{5}, 0, 1-2\frac{1}{5}\right)=A\left(\frac{1}{5}, 0, \frac{3}{5}\right)}\)
Teraz już wystarczy znaleźć współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{AP_1}}\) i znaleźć punkt będący przesunięciem \(\displaystyle{ A}\) o ten wektor