odległość równoległych prostych

[karlus]

mamy dwie proste równoległe o wzorach: \(\displaystyle{ Ax+By+C_{1}=0}\), \(\displaystyle{ Ax+By+C_{2}}\) mamy wyznaczyć wzór na odległość tych prostych od siebie.

[adek05]

Weżmy punkt \(\displaystyle{ P(0,0)}\). Oznaczmy proste przez: \(\displaystyle{ l_{1}, l_{2}}\). Wtedy odległość \(\displaystyle{ l_{1}}\) od P \(\displaystyle{ d_{1} = \frac{C_{1}}{\sqrt{A^2+B^2}}}\) oraz \(\displaystyle{ d_{2} = \frac{C_{2}}{\sqrt{A^2+B^2}}}\).
Stąd \(\displaystyle{ d = \frac{|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)

[karlus]

mógłbyś dokładniej pokazać z kąt się to wzięło i dorzucić jakieś wytłumaczenie z góry dzięki.

[adek05]

Po pierwsze, mały błąd, zapomniałem we wzorach na d dać wartości bezwzględnych w licznikach, powinno być:
\(\displaystyle{ d_{1} = \frac{|C_{1}|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\
d_{2} = \frac{|C_{2}|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)
No to zauważ, że jeżeli obie proste leżą po tej samej stronie punktu P, to wtedy trzeba odjąć odległość dalszej od bliższej.
Z drugiej strony, jeżeli leżą po przeciwnej, to należy dodać.

Można to alternatywnie zapisać tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
d = |d_{1} - d_{2}| \quad C_{1} , C_{2} > 0 \vee C_{1} , C_{2} < 0\\
d = d_{1} + d_{2} \quad C_{1} > 0 , C_{2} < 0 \vee C_{1} < 0 , C_{2} < 0
\end{cases}}\)
Teraz jeżeli sobie to dobrze rozpiszesz, to zobaczysz, że wzór z mojego pierwszego posta jest równoważny temu układowi.