płaszczyzna dwie proste parametr.

[okon]

dla jakiej wartości parametru m istnieje płaszczyzna H zawierając dwie proste:
\(\displaystyle{ k: \begin{cases} x+u=0\\x-z=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ k_{2}=x+2=-y=mz}\)

więc robię tak:
zamieniam pierwszą prostą na postać parametryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+t\\y=-1-t\\z=t \end{cases}}\)
mam więc wektor kierunkowy: [1,-1,1]

drugą prostą przekształcam do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{x+2}{1}= \frac{-y}{1}= \frac{1}{ \frac{1}{m} }}\)
wychodzi wektor kierunkowy: \(\displaystyle{ [1,1, \frac{1}{m}}\)

Mam więc dwa wektory kierunkowe prostych.
mogę sobie np: wyznaczyć punkt z prostej k, np: za 'x' podstawie 0 więc punkt to :(0,0,-1)

i tu sie zacinam... jak sprawdzic dla jakiego parametru płaszczyzna zawiera obydwie proste?

[Crizz]

Płaszczyzna istnieje pod warunkiem, że te proste nie są zwichrowane, czyli najwygodniej wyznaczyć punkt wspólny prostych w zależności od m.

Najprościej chyba będzie zrobić to tak: przepisz też drugą prostą na równanie parametryczne (dla wygody z innym parametrem, np. s) i sprawdź, kiedy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(t)=x(s) \\ y(t)=y(s) \\ z(t)=z(s) \end{cases}}\)
ma rozwiązanie.

Następnie trzeba sprawdzić, czy istnieje takie m, dla którego te proste są równoległe (wystarczy sprawdzić, czy może zajść sytuacja wektor kierunkowy jednej prostej*jakaś niezerowa liczba=wektor kierunkowy drugiej prostej).

[R1990]

A nie daloby rady zrobic tak, ze wyznaczamy wektory kierunkowe prostych i tworzymy wektor normalmy plaszczyzny?

[Crizz]

Można (chciałbym tylko zauważyć, ze wektor kierunkowy drugiej prostej był źle wyznaczony przez okona). Z tym że moim zdaniem to trochę wiecej liczenia.

Następnie możemy zapisać równanie prostej w postaci \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Obie proste przedstawiamy w postaci parametrycznej i wstawiamy do tego równania (za \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) podstawiamy oczywiście wyliczony wektor).

Jeśli się nie rąbnąłem w obliczeniach, to z podstawienia pierwszej prostej wychodzi \(\displaystyle{ D=0}\), a drugiej \(\displaystyle{ D=\frac{2(m-1)}{m}}\). Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ m=1}\).