Dla jakich wartości wektory są kolinearne (współliniowe)?

[Funga_fu]

Zad.1 Dla jakich wartości \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) wektory \(\displaystyle{ \vec{a} = 5 \vec{i} - 3 \vec{j} + \alpha \vec{k}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b} = \beta \vec{i} +9 \vec{j} -2 \vec{k}}\) są kolinearne?

Zad.2 Dane są punkty A=(1,3,-2), B=(-5,2,1), C=(7,2,-6). Na płaszczyźnie OXY znaleźć taki punkt D, aby wektor \(\displaystyle{ \vec{CD}}\) był kolinearny z wektorem \(\displaystyle{ \vec{AB}}\).

Jutro mam kolokwium, a nie mam pojęcia jak się za to zabrać.

Byłabym bardzo wdzięczna,gdyby ktoś mi to wytłumaczył.

Zdaje sobie sprawę, że skoro są współliniowe to należy użyć do obliczenia tego iloczynu wektorowego, bo \(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \parallel \vec{b}}\) ale nie wiem jak.

Pozdrawiam.

[BettyBoo]

Nie trzeba, to za dużo liczenia

kolinearne=współliniowe=równoległe, a więc są to wektory o proporcjonalnych współrzędnych. Czyli \(\displaystyle{ \vec{x},\ \vec{y}}\) są kolinearne wtedy, gdy istnieje taka liczba k, że \(\displaystyle{ \vec{x}=k\vec{y}}\) Czy to Ci wystarczy?

Pozdrawiam.

[Funga_fu]

A mogłabyś mnie jeszcze jakoś naprowadzić. Mam za dużo niewiadomych, żeby to obliczyć.

[BettyBoo]

Zad 1: \(\displaystyle{ t\vec{a}=\vec{b}\ \Leftrightarrow \ 5t=\beta\ \wedge\ -3t=9\ \wedge\ t\alpha=-2}\), więc \(\displaystyle{ \alpha,\ \beta}\) łatwo znaleźć.

Zad 2: \(\displaystyle{ D\in XOY\ \Rightarrow \ D=(x,y,0)}\). Warunek: \(\displaystyle{ \vec{AB}=t\vec{CD}}\)
Tworzysz wektory, rozpisujesz tą równość wektorów tak, jak w zadaniu 1 i liczysz x,y.

Pozdrawiam.

[Funga_fu]

Dzięki już mi wychodzi.


Edit.
A jeszcze w tym drugim zadaniu. Wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ \vec{AB} = t \vec{CD} \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ -6= t (x-7) \ \ \wedge \ -1 = t (y-2) \ \wedge \ -3 = t * 0}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{-6}{x-7} \ \ \wedge \ t = \frac{-1}{y-2} \ \wedge \ -3=0???}\)
I zostają 2 równania 3 niewiadome.

Mogę warunek postawić tak: \(\displaystyle{ t \vec{AB} = \vec{CD}}\) ?

[BettyBoo]

Mogę warunek postawić tak: \(\displaystyle{ t \vec{AB} = \vec{CD}}\) ?

Możesz.

Tam nie wychodzi nigdzie 0, nie wiem skąd masz takie trzecie równanie..?

Pozdrawiam.

[Funga_fu]

Wyszło mi, że \(\displaystyle{ \vec{AB} = [-5, -1, 3]}\) , D = (x,y,0) to \(\displaystyle{ \vec{CD} = [x-7,y-2,0]}\) Aha... już wiem gdzie miałam błąd. Źle obliczyłam długość wektora CD, powinien być taki \(\displaystyle{ \vec{CD} = [x-7,y-2,6]}\) .
Wielkie dzięki jeszcze raz.