Współrzędne punktów

lukasz07 · Post autor: **lukasz07** » 29 lis 2009, o 01:20

Proszę o rozwiązanie krok po kroku, albo o bardziej szczegółowy opis co trzeba zrobić. Bardziej zależy mi na zadaniu drugim. Z góry dziękuję.

Zad 1.
Punkty P, Q, R są odpowiednio środkami boków AB, BC i CA trójkąta ABC. Wiedząć, że P( 1, 3 ), Q( 2, 7 ), R( -3, 5 ), wyznacz współrzędne punktów A, B, C.

Zad 2.
Punkty P, Q, R są odpowiednio środkami boków AB, BC, CD kwadratu ABCD. Wiedząc, że P( 4, \(\displaystyle{ -3 \frac{1}{2}}\) ), Q( \(\displaystyle{ 5\frac{1}{2}}\) , 1 ), R( 1, \(\displaystyle{ 2\frac{1}{2}}\) ), oblicz współrzędne wierzchołków A, B, C, D.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 29 lis 2009, o 09:22

1)
Wiadomo, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąty jest równoległy do trzeciego boku. Napisz więc równania prostych boków trójkąta:

AB: równoległa do QR i przechodząca przez punkt P
BC: równoległa do PR i przechodząca przez punkt Q
CA: równoległa do PQ i przechodząca przez punkt R

Wierzchołki trójkąta to punkty przecięcia tych prostych.

2)
Kolejno:

- znajdź współrzędne punktu O przecięcia przekątnych kwadratu (środek odcinka PR)
- napisz równania przekątnych kwadratu (AC: równoległa do PQ i przechodząca przez punkt O oraz BD: równoległa do QR i przechodząca przez punkt O)
- ponieważ długość odcinka |PQ| jest równa połowie długości przekątnych, to bez problemu wyznaczysz współrzędne wierzchołków kwadratu (A i C jako punkty leżące na prostej AC i oddalone od punktu O o |PQ| oraz B i D jako punkty leżące na prostej BD i oddalone od punktu O o |PQ|)

gandalf1 · Post autor: **gandalf1** » 30 lis 2009, o 17:28

Hej czy pomógłby mi ktos w rozwiazaniu..?

zad1.
Uzasadnij,ze czworokąt o wierzchołkach A,B,C,D takich ze A=(-3,2) B=(3,-4) C=(5,1) i D(2,4) jest trapezem.
a)oblicz jego pole i obwód
b)oblicz pole trapezu,którego wierzchołkami sa końce jednego ramienia trapezu i srodek drugiego.

Z góry dziekuje

Quaerens · Post autor: **Quaerens** » 30 lis 2009, o 17:30

gandalf1

A) Skorzystaj ze wzoru na długość odcinka, pójdzie gładko
B) Dorysuj pare lini do szkicu i coś Ci wyjdzie

Szkic:

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 30 lis 2009, o 18:11

a)

Napisz równanie prostej AB i CD. Sprawdź czy mają jednakowe współrzędne kierunkowe. Jeżeli tak, to oznacza to że AB || CD, czyli ABCD jest trapezem (oczywiście bez rysunku należałoby sprawdzić wszystkie pary boków czworokąta, bo podstawami mogą być inne boki niż AB i CD).

Oblicz długości boków oraz odległość punktu C od prostej AB (to będzie wysokość trapezu). Masz już wszystkie dane do obliczenia obwodu i pola powierzchni.

gandalf1 pisze: b)oblicz pole trapezu,którego wierzchołkami sa końce jednego ramienia trapezu i srodek drugiego.

Nie bardzo rozumiem o jaki trapez chodzi. Przecież końce jednego ramienia i środek drugiego, to trzy wierzchołki (czyli trójkąt a nie trapez).

gandalf1 · Post autor: **gandalf1** » 1 gru 2009, o 13:23

przepraszam w podpunkcie b powinno byc trójka nie trapez ....-- 1 gru 2009, o 13:43 --do mat 61

a jak ja mam napisac równanie prostej..?

i wogóle dziwne mi te długosci boków wyszly..;/ AB=16 CD=18 a BC=29 chyab cos nie tak tu jest

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 1 gru 2009, o 13:50

Sprawdź czy jest to trapez równoramienny (czy ramiona AD i BC są równej długości). Jeżeli tak, to nie ma znaczenia które ramię weźmiesz po uwagę.

Wyznacz więc współrzędne środka E ramienia BC oraz odległość punktu E od prostej AD (to będzie wysokość trójkąta ADE poprowadzona do boku AD). Masz już dane do obliczenia pola powierzchni trójkąta.

Gdyby ramiona AD i BC nie były równej dlugości, to wówczas byłyby dwa takie trójkąty - ADE i BCF (F - środek ramienia AD)-- 1 gru 2009, o 14:07 --

gandalf1 pisze:
do mat 61

a jak ja mam napisac równanie prostej..?

i wogóle dziwne mi te długosci boków wyszly..;/ AB=16 CD=18 a BC=29 chyab cos nie tak tu jest

1) Wprost ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty - masz go z pewnościa w podręczniku lub zeszycie.

2) A skąd te długości boków? Np. |AB| dla A(-3;2) B(3;-4):

\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{ (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} }= \sqrt{ (3 - (-3))^{2} + (-4 -2)^{2}} = \sqrt {6^{2}+(-6)^{2}}= \\ =\sqrt {72} = 6 \sqrt{2}}\)

Podobnie oblicz długości pozostałych boków.

gandalf1 · Post autor: **gandalf1** » 1 gru 2009, o 18:58

teraz chyba boki mi dobrze wyszły ogólnie AD i CB sa równej długosci . AD= pierwiastek z 29 CD=3pierwiastki z 2 BC=pierwiastek z 29

a równania prostej tez mi cos nie tak bo jedno wychodzi y=-1/3x-3 a drugie y=-1/3x +3 czy moze to ktos sprawdzic chyba sie gdzies machnałem bo nie takie same..;/

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 1 gru 2009, o 19:10

gandalf1 pisze: a równania prostej tez mi cos nie tak bo jedno wychodzi y=-1/3x-3 a drugie y=-1/3x +3 czy moze to ktos sprawdzic chyba sie gdzies machnałem bo nie takie same..;/

Ale które to są proste?
Domyślam się, że AB i CD, bo są równoległe. Proste są równoległe jeżeli mają jednakowe współczynniki kierunkowe (czyli współczynniki przy x) niezależnie od tego jakie są wyrazy wolne.