Długość przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach

[Funga_fu]

Obliczyć długość przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}= 5 \vec{m} + 2 \vec{n}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}= \vec{m} - 3 \vec{n}}\) , jeżeli wiadomo, że \(\displaystyle{ \vec{m} = 2 \sqrt[ ]{2 }}\) i \(\displaystyle{ \vec{n} = 3}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{m}}\) i \(\displaystyle{ \vec{n}}\) tworzą kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\).

Liczyłam już podobne zadanie, ale z tym nie mogę sobie poradzić... Czy mógłby mnie ktoś naprowadzić, jak to zrobić? Będę bardzo wdzięczna.

Inny przykład z tego zadania rozwiązałam. To on:

Obliczyć długość przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}= 2 \vec{p} + \vec{q}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}= \vec{p} - 2 \vec{q}}\) , gdy \(\displaystyle{ \vec{p}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}}\) są jednostkowymi wektorami i tworzą kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\).

\(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{a} +\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{c} = 2 \vec{p} + \vec{q} + \vec{p} - 2 \vec{q}}\)
\(\displaystyle{ \vec{c}= 3 \vec{p} - \vec{q}}\)

\(\displaystyle{ |\vec{c}|= \sqrt[ ]{\vec{c} \circ \vec{c}}}\) długość wektora

\(\displaystyle{ |\vec{c}|= \sqrt[ ]{\vec{c} \circ \vec{c}} = \sqrt[ ]{3 \vec{p} - \vec{q} \circ 3 \vec{p} - \vec{q}} = \sqrt[ ]{9 \vec{p} \circ \vec{p} - 3 \vec{p} \circ \vec{q} - 3 \vec{p} \circ \vec{q} + \vec{q}\circ \vec{q}} = \sqrt[ ]{9 \vec{p} \circ \vec{p} - 6 \vec{p} \circ \vec{q} + \vec{q}\circ \vec{q}} = \sqrt[ ]{9 \cdot 1\cdot 1 \cdot cos 0 - 6 \cdot 1\cdot 1 \cdot cos {\frac{\pi}{3}} + 1\cdot 1 \cdot cos 0 } = \sqrt[ ]{9 \cdot 1\cdot 1 \cdot 1 - 6 \cdot 1\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}+ 1\cdot 1 \cdot 1 } = \sqrt[ ]{9 - 3 + 1 } = \sqrt[ ]{7}}\) <-- długość przekątnej c

Druga przekątna: \(\displaystyle{ \vec{d} = \vec{a} - \vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{d} = 2 \vec{p} + \vec{q} - \vec{p} + 2 \vec{q} = \vec{p} + 3 \vec{q}}\)
\(\displaystyle{ |\vec{d}|= \sqrt[ ]{\vec{d} \circ \vec{d}} =}\) itd....



Ale za nic nie mogę tego przykładu zrobić analogicznie.

[Myrag]

ojej, wiecej pisania niz robienia, skoro wrzucilas przyklad to pokaze Ci jak rozwiazac to analogicznie

\(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b}}\)

\(\displaystyle{ \vec{c} = 5 \vec{m} + 2 \vec{n} + \vec{m} - 3 \vec{n}}\)

\(\displaystyle{ \vec{c} = 6 \vec{m} - \vec{n}}\)

no wiec lecimy

\(\displaystyle{ | \vec{c} | = \sqrt{ \vec{c} \circ \vec{c} }}\)

postawiamy

\(\displaystyle{ | \vec{c} | = \sqrt{ 6 \vec{m} - \vec{n} \circ 6 \vec{m} - \vec{n} }}\)

chyba nie ma co tlumaczyc o tym jak sie sklada wektory ale w skrocie mowiac mozna wymnozyc sobie teraz kazdy z kazdym i zapisac to jako zlozenia, z tad tez

\(\displaystyle{ | \vec{c} | = \sqrt{ 36 \vec{m} \circ \vec{m} - 6 \vec{m} \circ \vec{n} - 6 \vec{m} \circ \vec{n} + \vec{n} \circ \vec{n}}}\)

skracajac

\(\displaystyle{ | \vec{c} | = \sqrt{ 36 \vec{m} \circ \vec{m} - 12 \vec{m} \circ \vec{n} + \vec{n} \circ \vec{n}}}\)

teraz mozemy liczyc, ogolnie zlozenie wektorow czyli iloczyn skalarny wektorow liczymy

\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} = ||a|| \cdot ||b|| \cdot cos \partial}\)
gdzie
\(\displaystyle{ cos \partial}\)
jest katem pomiedzy wektorami

no wiec liczymy sobie juz podstawiajac

\(\displaystyle{ | \vec{c} | = \sqrt{ 36 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot cos 0- 12 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 3 \cdot cos \frac{\pi}{4} + 3 \cdot 3 \cdot cos 0}}\)

no wiec

\(\displaystyle{ cos 0 = 1}\)

\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{4} = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{c} | = \sqrt{ 36 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 1 - 12 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} + 3 \cdot 3 \cdot 1}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{c} | = \sqrt{ 36 * 8 - 36 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} + 9}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{c} | = \sqrt{ 36 * 8 - 36 \cdot 2 + 9}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{c} | = \sqrt{ 36 * 6 + 9}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{c} | = \sqrt{ 225}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{c} | = 15}\)

no i teraz analogicznie


\(\displaystyle{ \vec{d} = \vec{a} - \vec{b}}\)

\(\displaystyle{ \vec{d} = 5 \vec{m} + 2 \vec{n} - \vec{m} + 3 \vec{n}}\)

\(\displaystyle{ \vec{d} = 4 \vec{m} + 5 \vec{n}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{d} | = \sqrt{ \vec{d} \circ \vec{d} }}\)

\(\displaystyle{ | \vec{d} | = \sqrt{ 4 \vec{m} + 5 \vec{n} \ circ 4 \vec{m} + 5 \vec{n}}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{d} | = \sqrt{ 16 \vec{m} \circ \vec{m} + 20 \vec{m} \circ \vec{n} + 20 \vec{m} \circ \vec{n} + 25 \vec{n} \circ \vec{n}}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{d} | = \sqrt{ 16 \vec{m} \circ \vec{m} + 40 \vec{m} \circ \vec{n} + 25 \vec{n} \circ \vec{n}}}\)

jako ze wczesniej juz onliczylismy ze:

\(\displaystyle{ \vec{m} \circ \vec{m} = 8}\)

\(\displaystyle{ \vec{m} \circ \vec{n} = 6}\)

\(\displaystyle{ \vec{n} \circ \vec{n} = 9}\)

\(\displaystyle{ | \vec{d} | = \sqrt{ 16 \cdot 8 + 40 \cdot 6 + 25 \cdot 9}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{d} | = \sqrt{ 128 + 240 + 225}}\)

\(\displaystyle{ | \vec{d} | = \sqrt{ 593 }}\)

\(\displaystyle{ | \vec{d} | \approx 24}\)

wyniki wygladaja jakos mniej wiecej ok, wiec chyba powinno byc, zrobilem to analigicznie do przykladu chociaz nie wiem czy wektor d nie powinien byc b - a ale to sie okaze

[Funga_fu]

Dziękuje bardzo mi pomogłeś. Wygląda na to, że po prostu przekombinowałam . Dzięki jeszcze raz.


Aha i wyniki się zgadzają.