równanie okręgu symetrycznego względem prostej

[mcmcjj]

Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu \(\displaystyle{ o_{1}: x^{2} + y^{2} + 6x - 2y - 15 = 0}\) względem prostej k: x - 3y - 4 = 0.

Wpadłem na pewien pomysł. Policzyłem odległość środka okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\) od prostej k i wyszło mi, że \(\displaystyle{ d(S_{1}, k) = \sqrt{10}}\). Myślę, że teraz po prostu muszę znaleźć punkt \(\displaystyle{ S_{2}}\), który ma taką samą odległość od k, jak \(\displaystyle{ S_{1}}\). Te 2 punkty winny stworzyć odcinek prostopadły do prostej k. Wystarczy wiedzieć jakie będą współrzędne punktu \(\displaystyle{ S_{2}}\) do napisania równania okręgu. No właśnie tu jest problem - mam pomysł, ale nie wiem jak to zrobić, policzyć.

[Sherlock]

Proponuję tak:
1. Wyznacz wzór prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ S_1}\) i prostopadłej do k.
2. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się obu prostych - to środek odcinka na końcu którego znajdują się środki okręgów.
3. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka wyznacz współrzędne środka drugiego okręgu.

[mcmcjj]

Robię wg tych punktów i nie wychodzi:

1. y = -x - 2
2. E(1/2 ; -5/2)
3. S2(4, -6)

Wg odpowiedzi współrzędne powinny wyjść x = -1 i y = -5.

[Sherlock]

Nie wychodzi, bo źle jest policzona prosta prostopadła do prostej k. Skoro prosta k ma współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a= \frac{1}{3}}\) to prosta prostopadła ma \(\displaystyle{ a'=- \frac{1}{a}=-3}\). Współczynnik b wyliczysz podstawiając środek okręgu czyli punkt \(\displaystyle{ S_1}\).
PS dodam, że punkt przecięcia się prostych powinien wyjść P(-2,-2).