Geometria analityczna

[Ingrida91]

Dany jest okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} - 2x - 2y + 1 = 0}\) i prosta \(\displaystyle{ x - y - 1 = 0}\).
Oblicz długość cięciwy tego okręgu zawartej w danej prostej i jej odległość od środka okręgu .

Pomóżcie błagam

[snajper0208]

oblicz punkty przecięcia prostej i okręgu a potem skorzystaj ze wzoru na odległość dwóch punktów (pierwiastek sumy kwadratów różnicy)

okręg:
\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} - 2x - 2y + 1 = 0 \\
(x-1)^2-1+(y-1)^2-1+1=0 \\
(x-1)^2+(y-1)^2=1 \\
S=(1,1), r=1}\)
prosta
\(\displaystyle{ x - y - 1 = 0 \Rightarrow y=x-1}\)
podstawiam równanie prostej pod równanie okręgu:
\(\displaystyle{ x ^{2} + (x-1) ^{2} - 2x - 2(x-1) + 1 = 0 \\
x ^{2}+x ^{2}-2x+1-2x-2x+2+1=0 \\
2x^2-6x+4=0 \\
\Delta=36-32=4 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=2 \\
x_1=\frac{6-2}{4}=1 \\
x_2=\frac{6+2}{4}=2 \\
y_1=1-1=0 \\
y_2=2-1=1 \\}\)
punkty przecięć:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=1\\ y_1=0 \end{cases}
\begin{cases} x_2=2\\ y_2=1 \end{cases}\\}\)
wzór na odległość dwóch punktów (długość cięciwy):
\(\displaystyle{ \sqrt{(2-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}}\)
odległość punktu \(\displaystyle{ P=(x_0,y_0)}\) od prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\
x_0=1 \\
y_0=1 \\
A=1 \\
B=-1 \\
C=-1 \\
\frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1+ (-1)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|1-1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

sprawdź ktoś czy nie ma błędu