elipsa i obliczenie odległośći odległości 2a

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
varianttsi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 25 paź 2009, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dolnośląskie

elipsa i obliczenie odległośći odległości 2a

Post autor: varianttsi »

Treść zadania
a)Znajdź równanie krzywej utworzonej z wszystkich punktów, których odległość od prostej x = -4 jest dwa razy większa niż odległość od punktu F= (-1 ; 0)
b) Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu tek krzywej od punktów \(\displaystyle{ F _{1} = (-1;0) i F _{2} = (1;0)}\) jest równa 4

a) korzystając na odłegłość punktu od prostej znam odległość \(\displaystyle{ d1 = \left|x + 4 \right|}\)a d2 to odległość punktu M od punktu F \(\displaystyle{ d2 = \sqrt{(x + 1) ^{2} + y ^{2} }}\)
tworząc równanie z tych dwóch wartości otrzymuje równanie elipsy o półosiach 2 i \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{4} + \frac{y ^{2} }{3} = 1}\)
b) i tu zaczynają się schody bo
odległość \(\displaystyle{ MF _{1} d1 = \sqrt{(x + 1) ^{2} +y ^{2} }}\)
opległość \(\displaystyle{ MF _{2} d2 = \sqrt{(x - 1) ^{2} + y ^{2} }}\)
naszym celem jest wykazanie d1 + d2 = 4
\(\displaystyle{ d1 = \frac{1}{2} \left| x+4\right|}\)
i dalszej treści rozwiązania już nie rozumiem , więc cytuję:
Zauważmy teraz, że z równania elipsy wynika co następuje
\(\displaystyle{ 3x ^{2} + 4y ^{2} = 12}\) (odejmujemy 8x i rozkładamy na sumy)
\(\displaystyle{ x ^{2} - 8x + 16 = 4x ^{2} - 8x +4 + 4y ^{2}
(x - 4) ^{2} = 4(x - 1) ^{2} + 4y ^{2}
\left| x - 4\right| = 2 \sqrt{(x - 1) ^{2} + y ^{2} }}\)

skąd wynika, że
\(\displaystyle{ d2 = \frac{1}{2} \left| x-4\right|}\)
w takim razie
\(\displaystyle{ d1 +d2 = \frac{1}{2} ( \left|x+4 \right| + \left|x-4 \right| = \frac{1}{2}(x+4 - x +4) = 4}\)
gdyż dla punktów M należących do elipsy -4 jest mniejsze od x jest mniejsze od 4
tzn. \(\displaystyle{ \left|x+4 \right|= x+4 i \left|x-4 \right| = -x +4}\)
nie rozumiem o co chodzi w tym jak oni wyliczyli d2 i co ma znaczyć "(odejmujemy 8x i rozkładamy...)"
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

elipsa i obliczenie odległośći odległości 2a

Post autor: JankoS »

\(\displaystyle{ 3x ^{2} + 4y ^{2} = 12 \Leftrightarrow 0=3x ^{2} + 4y ^{2}-12 \Leftrightarrow x^2-8x+16=3x ^{2} + 4y ^{2}-12 +x^2-8x+16=4x^2-8x+4+4y^2=4 \left((x^2-2x+1)+y^2 \right)=4 \left((x-1)^2+y^2 \right)= \left(2d_2 \right)^2 \Leftrightarrow (x-4)^2=\left(2d_2 \right)^2 \Leftrightarrow \sqrt{(x-4)^2}= \sqrt{\left(2d_2 \right)^2} \Leftrightarrow |x-4|=2d_2.}\)
ODPOWIEDZ