Pole powierzchni bocznej prostopadlościanu

[Erwb]

Przekątna prostopadłościanu ma długość d i tworzy z sąsiednimi ścianami bocznymi kąty odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) Oblicz pole powierzchni bocznej prostopadłościanu.

Wyszło mi coś takiego byłbym wdzięczny jeśli ktoś by sprawdził



\(\displaystyle{ dsin \alpha =a

dsin \beta = b

(dsin \alpha) ^{2} + (dsin \beta)^{2} + c^{2}= d^{2}

c ^{2} = d ^{2}-d ^{2}sin ^{2} \alpha - d^{2} sin^{2} \beta

c=d*( \sqrt{1-sin^{2} \alpha - sin^{2} \beta}

Ppb= 2d \sqrt{1-sin^{2} \alpha - sin^{2} \beta} (dsin \alpha + dsin \beta)=
2d^{2} (sin \alpha + sin \beta) \sqrt{1-sin^{2} \alpha - sin^{2} \beta}}\)

[Sherlock]

Trygonometria i do dzieła

[tometomek91]

a - pierwsza krawędź podstawykrawędź podstawy
b - druga krawędź podstawykrawędź podstawy
Z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{d}{sin90}= \frac{a}{sin \alpha}\\
\frac{d}{sin90}= \frac{b}{sin \beta}}\)
Znamy a i znamy b. Musimy znać jeszcze wysokość H bryły. Do obliczenia jej dlugości wykorzystamy przekątną ściany bocznej e.
\(\displaystyle{ \frac{d}{sin90}= \frac{e}{sin(90- \alpha)}}\)
Wyliczamy e i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ b^{2}+H^{2}=e^{2}}\)
Wzór na pole powierzchni bocznej:
\(\displaystyle{ P=2H(a+b)}\)

[Sherlock]

\(\displaystyle{ (dsin \alpha) ^{2} + (dsin \beta)^{2} + c^{2}= d^{2}\\
d-2d^{2}sin \alpha ^{2}=c^{2}}\)

dziwne rzeczy się tu dzieją
Ułatw sobie obliczenie c:
\(\displaystyle{ (d cos\beta)^2=c^2+a^2}\)
lub
\(\displaystyle{ (dcos\alpha)^2=c^2+b^2}\)

[Erwb]

ech coś mi się pomyliło jak przepisywałem ale już poprawione.

wyszło mi coś takiego
\(\displaystyle{ Ppb= 2d^{2} (sin \alpha + sin \beta) \sqrt{1-sin^{2} \alpha - sin^{2} \beta}}\)

raczej jest to dobrze ale czy da się jeszcze jakoś to uprościć czy tak zostawić ?

[Sherlock]

ewentualnie możesz skorzystać pod pierwiastkiem z jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sqrt{1-sin^{2} \alpha - sin^{2} \beta}= \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta}}\)
lub
\(\displaystyle{ \sqrt{1-sin^{2} \alpha - sin^{2} \beta} = \sqrt{cos^2\beta-sin^2\alpha}}\)