współrzędne wierzchołka trójkąta

[kata189]

Pkt. A(-7, 4) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC o polu = 40. Wiedząc, że podstawa trójkąta jest krótsza od ramienia i jeden z boków trójkąta leży na prostej y= 3x - 15, oblicz współrzędne wierzchołków B i C. Przez podstawę trójkąta równoramiennego należy rozumieć ten bok, którego długość może nie być równa długości dwóch pozostałych boków.

[tometomek91]

Współrzędne punktu A nie spełniają równania prostej, więc leży na niej podstawa trójkąta. Możemy obliczyć jego wysokość:
\(\displaystyle{ h= \frac { \left|Ax_{a}+By_{a}+C \right|}{ \sqrt{A^{2}+b^{2}} }}\), gdzie nasza prosta to: \(\displaystyle{ 3x-y-15=0}\).
Długość wysokości: \(\displaystyle{ 4 \sqrt{10}}\).
Niech \(\displaystyle{ B=(x_{b},3x_{b}-15)}\) i \(\displaystyle{ C=(x_{c},3x_{c}-15)}\).
Trójkąt jest równoramienny, więc:
\(\displaystyle{ \left| AB\right| = \left| AC\right|= \sqrt{(x+7)^{2}+(3x-15-4)^{2} }}\)
Z podanego pola możemy obliczyć długość podstawy:
\(\displaystyle{ 40= \frac{|BC|*4 \sqrt{10}}{2}\\
|BC|=10 \sqrt{3}}\)
Prosta prostopadła do podstawy:
\(\displaystyle{ y=- \frac{1}{3}x+b}\)
Ta sama prosta przechodząca przez punkt A:
\(\displaystyle{ y=- \frac{1}{3}x+ \frac{5}{3}}\)
Punkt D przecięcia się podstawy i wysokości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-y-15=0\\ y=- \frac{1}{3}x+ \frac{5}{3} \end{cases}\\
\begin{cases} x=4,9 \\ y=0,3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ D=(4,9;0,3)}\)
Odległość punktów D i C:
\(\displaystyle{ |DC|=|DB|=5 \sqrt{3}}\)
Znamy D, więc znamy też B i C.