Odleglosc plaszczyzn od Punktu 0

[solmech]

Witam,

mam dwie plaszczyzny, mianowicie

E1:\(\displaystyle{ 2x+y-3z=5}\)

E2:
Punkty :
P1 = \(\displaystyle{ (1,2,3)}\)
P2 = \(\displaystyle{ (2,0,3)}\)
P3 = \(\displaystyle{ (1,5,4)}\)

a) Oblicz odleglosc plaszczyzn do Punktu 0

Chcialem najpierw napisac rownanie plaszczyzny E2:

\(\displaystyle{ r(P)=(1,2,3)+a(2-1,0-2,3-3)+b(1-1,5-2,4-3)}\)

Czyli\(\displaystyle{ r(P)=(1,2,3)+1(1,-2,0)+b(0,3,1)}\)

Wektor normalny:

\(\displaystyle{ n=(1,-2,0)x(0,3,1)}\)

\(\displaystyle{ n=(-2,-1,3)}\)

I wyszlo mi:

E2: \(\displaystyle{ n(r- r_{1})= (-2,-1,3)(x-1,y-2,z-3)}\)

Czyli:

E2: \(\displaystyle{ -2x-y+3z-5=0}\)

Czy dotad sie zgadza? Jezeli tak, to jestem w stanie obliczyc odleglosc E2 do punktu 0. Jak jednak wyglada sprawa z plaszczyzna E1 ?

Bardzo prosze o pomoc.
Pozdrawiam
Tomek

-- 17 listopada 2009, 22:31 --

To moze jeszcze dodam ze jako odleglosc plaszczyzny E2 do punktu 0 wyszlo mi \(\displaystyle{ \frac{9}{ \sqrt{14} }}\) biorac pod uwage punkt P1 oraz wektor normalny.

[BettyBoo]

Równanie E2 masz ok.

Wzór na odległość \(\displaystyle{ d}\) punktu \(\displaystyle{ P(a,b,c)}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\):

\(\displaystyle{ d=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}\)

Pozdrawiam.

[solmech]

O wielkie dzieki! Jako punkt 0 , mam wziac po prostu P(0,0,0), tak?

Czyli odleglosc bedzie:
\(\displaystyle{ d= \frac{5}{ \sqrt{14} }}\)

Zgadza sie?

[BettyBoo]

Dwa razy tak.

Pozdrawiam.

[solmech]

Super! Wielkie dzieki.

To jeszsze ostatni punkt. Czy te plaszczyzny sa identyczny, a moze rownolegle?

[BettyBoo]

E2 można zapisać jako 2x+y-3z=-5, więc E1 i E2 nie pokrywają się, ale są równoległe.

Pozdrawiam.

[solmech]

Dzieki Jestes wielka!