Równanie stycznej do okręgu

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 17 lis 2009, o 17:56

Znaleźć równanie stycznej do okręgu o podanym równaniu w punkcie A.

Brakuje mi pewnie odczytania jednej ukrytej informacji - dochodzę do prostego równania z dwiema niewiadomymi.

anna_ · Post autor: **anna_** » 17 lis 2009, o 18:04

\(\displaystyle{ \begin{cases} rownanie \ okregu \\ y=ax+b \end{cases}}\)
Musi mieć jedno rozwiązanie
Otrzymasz jakieś równanie kwadratowe, \(\displaystyle{ \Delta=0}\)

Zordon · Post autor: **Zordon** » 17 lis 2009, o 18:26

nie zawsze taka styczna istnieje

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 17 lis 2009, o 18:45

No i nie zawsze jest jedna, przecież często istnieją dwie... Dalej nie widzę rozwiązania, otrzymuję caly czas równanie z dwiema niewiadomymi - współczynnikami szukanej stycznej.

anna_ · Post autor: **anna_** » 17 lis 2009, o 18:46

A podstawiłeś do \(\displaystyle{ y=ax+b}\) współrzędne punktu \(\displaystyle{ A}\)?

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 17 lis 2009, o 18:51

No tak, biorę sobie punkt \(\displaystyle{ (-5;10)}\) i równanie okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2=25}\) - taki jest przykład do tego zadania. Istnieją dwie styczne.
Dostaję zatem układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=25 \\ y = ax+b \end{cases}}\) Jak podstawię te szukane współrzędne do drugiego równania, za wiele to nie pomoże.

anna_ · Post autor: **anna_** » 17 lis 2009, o 19:03

A teraz:
\(\displaystyle{ y = ax+b}\)
\(\displaystyle{ (-5;10)}\)

\(\displaystyle{ 10=-5a+b \Rightarrow b = 5a + 10}\)

czyli styczna jest postaci:
\(\displaystyle{ y=ax+5a + 10}\)

?

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 17 lis 2009, o 19:08

Ok, to jeszcze wytłumacz dlaczego takie równanie ma mieć jedno rozwiązanie, bo jakoś tego nie widzę. Co, jeśli ma dwa?

anna_ · Post autor: **anna_** » 17 lis 2009, o 19:39

Jak bedą dwa rozwiązania, to styczna nie będzie styczną tylko sieczną.
Poza tym mogą być dwa rozwiąznia jeżeli \(\displaystyle{ \Delta=0}\)?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 17 lis 2009, o 19:57

nmn, chodzi o to, że w wiekszosci przypadków sa dwie styczne

anna_ · Post autor: **anna_** » 17 lis 2009, o 19:57

Wyjdą dwie
Ok chyba namąciłam.
Układ równań musi mieć jedno rozwiązanie. Równanie kwadratowe, które tam wyjdzię musi mieć jedno rozwiązanie czyli \(\displaystyle{ \Delta}\) z równania kwadratowego musi być równa \(\displaystyle{ 0}\)

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 17 lis 2009, o 20:17

Wczoraj troszkę nad tym dumałem a propos tematu: 155004.htm
czeslaw, w Twoim przykładzie masz jedną styczną postaci: \(\displaystyle{ x=-5}\) czyli nie jest to prosta postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\), nie otrzymamy zatem jej z układu podanego przez nmn (tam wyjdzie druga styczna).
Myślę, że pewnym rozwiązaniem jest wprowadzenie prostej postaci \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), ale skąd tu wytrzasnąć trzecie równanie

anna_ · Post autor: **anna_** » 17 lis 2009, o 20:29

A niech to, rzeczywiście. Dopiero teraz rozwiązałam to do końca. Wychodzi jedna styczna.

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 17 lis 2009, o 20:37

Z dotychczasowych spostrzeżeń:
1) punkt leży na okręgu z układu wychodzi jedno rozwiązanie czyli OK,
2) punkt leży na którejś z dwóch prostych równoległych do prostej OY i ograniczających okrąg (tak jak w podanym przykładzie) z układu wychodzi jedno rozwiązanie czyli nieOK , brakuje jednej stycznej postaci \(\displaystyle{ x=...}\),
3) punkt leży gdziekolwiek indziej (oczywiście nie wewnątrz koła) z układu wychodzą dwa rozwiązania czyli OK

anna_ · Post autor: **anna_** » 17 lis 2009, o 20:46

A może po prostu trzeba rozpatrywać dwa przypadki:
I styczna jest postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\)
II styczna jest postaci \(\displaystyle{ x=c}\)
?

(Ten drugi w przypadku gdy z I wychodzi jedno rozwiązanie)