Kilka zadań z figur i przekształceń

[sagis]

1. Jest trójkąt \(\displaystyle{ A = (-6, 1), B = (102, 0), C = (-106, -4)}\)
- w jednym z podpunktów mam wyznaczyć współrzędne punktu D, tak aby leżał w czwartek ćwiartce układu, i żeby tworzył równoległobok ACDB. Zacząłem robić to tak, że obliczyłem długość |CB|, wyznaczyłem środek \(\displaystyle{ (S)}\), później obliczyłem długość |AS|, i teraz nie wiem czy robię dobrze, jeśli tak to co dalej, jeśli nie to jak to zrobić?
- w następnym przykładzie mam znaleźć współrzędne obrazu punktu A w symetrii względem punktu B. Można się obsłużyć wektorami czy jest jakaś inna droga?

2. Wyznaczyć równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AD gdy \(\displaystyle{ A = (-5, 7)}\), \(\displaystyle{ D = (-3, -1)}\), oraz równanie stycznej do okręgu w punkcie A. Równanie okręgu potrafię zrobić sam ze wzoru \(\displaystyle{ (x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2}}\), ale nie bardzo wiem jak się zabrać do tej stycznej.

3. Ile punktów wspólnych z okręgiem \(\displaystyle{ (x+3)^{2}+(y-2)^{2} = 31}\) ma prosta o równaniu \(\displaystyle{ y = 2x-1}\).

4. Punkty \(\displaystyle{ A = (4, -1)}\), \(\displaystyle{ B = (3, 6)}\), \(\displaystyle{ C = (-1, 3)}\), są wierzchołkami trójkąta.
-wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka A.
-wyznacz równanie prostej równoległej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C.

Generalnie prosiłbym o napisanie jak się do tego zabrać, od czego zacząć, co zastosować, a nie rozwiązywać je.

[anna_]

1.
Niepotrzebnie liczyłeś |CB| i |AS|
Przekątne dzielą się na pół, punkt S musi być też srodkiem przekątnej CD (wzór na wspólrzędne środka odcinka i znajdziesz wspólrzędne punktu D)

Punkt symetryczny - też wzór na współrzędne środka odcinka, tym środkiem będzie punkt B, (końce to A i A')

2.
Masz równanie okręgu czyli masz jego środek i promień.
1. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\)
2. Znajdź równanie prostej prostopadłej do średnicy i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\) ( to właśnie równanie Twojej stycznej)

3.
Policz odległość środka okręgu od prostej \(\displaystyle{ y = 2x-1}\) i porównaj z długością promienia

4.
1. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty B i C
2. Znajdź równanie prostej prostopadłej do BC i przechodzącej przez punkt A

1. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B
2. Znajdź równanie prostej równoległej do AB i przechodzącej przez punkt C

[sagis]

Zabrałem się właśnie za te zadania, i co do pierwszego piszesz, że

Przekątne dzielą się na pół, punkt S musi być też srodkiem przekątnej CD

Ale takiej przekątnej niema. Więc to powinno wyglądać jakoś tak

Co do reszty jestem w trakcie robienia, i będę edytować posta.

[wieczorek]

3) podstaw w pierwszym równaniu y z drugiego równania, liczba wspólnych punktów będzie zależała od delty

[anna_]

ABCD ma być równoległobokiem. Punkt S musi być środkiem obu przekątnych.
Zrobiłam sobie rysunek pomocniczy bez układu współrzędnych stąd te oznaczenia przekątnych.
Oczywiście S ma być również środkiem przekątnej AD. Współrzędne punktu A masz, S da się policzyć. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka AD policzysz wspłrzędne punktu D.

[sagis]

nie \(\displaystyle{ ABCD}\) tylko \(\displaystyle{ ACDB}\)

co do zad. 2
to zrobiłem takie coś

\(\displaystyle{ A = (-5, 7) D = (-3, -1)}\)
\(\displaystyle{ 7=-5a+b |*(-1)}\)
\(\displaystyle{ -1=-3a+b}\)

\(\displaystyle{ -7=-5a-b}\)
\(\displaystyle{ -1=-3a+b}\)

\(\displaystyle{ -8=-8a}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)

\(\displaystyle{ 7=-5*(1)+b}\)
\(\displaystyle{ b=12}\)
\(\displaystyle{ y=x+12}\)
Tylko nie wiem jak znaleźć równanie prostej prostopadłej do średnicy i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\)

Współrzędne D mi wyszlo \(\displaystyle{ D = (2, -2)}\) Nie wiem czy dobrze

[anna_]

Szczegół. Da się policzyć D czy nie?-- dzisiaj, o 16:45 --2.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7 = - 5a + b \\ -1 = - 3a + b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-4 \\ b=-13 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ y=-4x-13}\)

\(\displaystyle{ a_1=- \frac{1}{a}}\) - wspólczynnik kierunkowy prostej prostopadłej
Prosta prostopadła ma równanie postaci
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{4} x+b}\) i przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A = (-5, 7)}\)
\(\displaystyle{ 7=\frac{1}{4}\cdot (-5)+b}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{33}{4}}\)
czyli styczna ma równanie
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{4} x+\frac{33}{4}}\)

\(\displaystyle{ D=(2,-5)}\)

[sagis]

Co do zadania 4ego, moje wypociny wyglądają tak
\(\displaystyle{ A = (4, -1)}\), \(\displaystyle{ B = (3, 6)}\), \(\displaystyle{ C = (-1, 3)}\)
\(\displaystyle{ (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})=(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})}\)
\(\displaystyle{ y=7x+27}\) - wzór prostej przechodzącej przez punkty A i B
Teraz tylko nie wiem jak zrobić do tego prostą równoległą do prostej \(\displaystyle{ |AB|}\), która przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ C}\)

[anna_]

Masz błąd w wyznaczeniu tej prostej. Powinno być \(\displaystyle{ y=-7x+27}\)
Prosta równoległa jest postaci
\(\displaystyle{ y=-7x+b}\)
przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ C = (-1, 3)}\) czyli
\(\displaystyle{ 3=-7 \cdot (-1)+b}\)
\(\displaystyle{ b=-4}\)

\(\displaystyle{ y=-7x-4}\)

[sagis]

A jest może jakiś inny sposób na zrobienie zadania czwartego ?
Tak tylko pytam, żeby była jakaś alternatywa.