Równania stycznych do okręgu przez punkt

[magdagie]

Witam, mam takie zadanie i nie umiem sobie za bardzo z nim poradzić. Czy ktoś mógłby mnie nakierować?
Znajdź równania stycznych do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4}\) przechodzących prze punkt \(\displaystyle{ P(4,-2)}\)
zaczęłam to robić tak że długość \(\displaystyle{ r=2}\) równa się odległości prostej \(\displaystyle{ ax-y-2-4a=0}\) do \(\displaystyle{ S(0,0)}\) ale później mi wychodzi sprzeczność i nie wiem co dalej. Proszę o wskazówki, wiem też że jedna styczna to jest \(\displaystyle{ y=-2}\)

[Sherlock]

Zadanie możemy policzyć na różne sposoby. Podam pomysł troszkę... egzotyczny

Opierając się na twierdzeniu o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt, zadanie możemy rozwiązać w ten sposób:
1. Zgodnie ze wspomnianym twierdzeniem \(\displaystyle{ |AB|^2=|AD| \cdot |AE|}\), punkty D i E to punkty przecięcia się okręgu z prostą AO. Skoro znamy \(\displaystyle{ |AB|^2}\) to możemy skompletować wzór okręgu o środku A i promieniu AB.
2. Liczymy punkty przecięcia się obu okręgów (otrzymujemy punkty B i C).
3. Pozostaje policzyć równania prostych AB i AC.

PS punkt A odpowiada Twojemu punktowi P

[magdagie]

o w ogóle o czymś takim nie pomyślałam, a jeszcze mam pytanie: skąd znamy \(\displaystyle{ |AB|^2}\)? dziękuję Ci bardzo za pomoc

[Sherlock]

Nie chcę narzucać tego rozwiązania, dlatego napisałem, że jest "egzotyczne"

skąd znamy \(\displaystyle{ |AB|^2}\)

zgodnie z twierdzeniem o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt (poszperaj w sieci... styczna to taka nietypowa sieczna ) \(\displaystyle{ |AB| \cdot |AB|=|AD| \cdot |AE|=|AC| \cdot |AC|}\)

[magdagie]

ehh ok już wszystko rozumiem głupie pytanie dzięki Ci jeszcze raz

[Sherlock]

magdagie, a tak będzie szybciej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=ax+b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x^2+a^2x^2+2abx+b^2=4}\)
\(\displaystyle{ (1+a^2)x^2+2abx+b^2-4=0}\)
policz deltę, która wiadomo ma wynosić 0 (styczna ma jeden punkt wspólny z okręgiem)
Następnie pozostaje rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta=0 \\ -2=4a+b \end{cases}}\)

[magdagie]

O super, dziękuję Wam bardzo za pomoc

[Sherlock]

magdagie, jeśli chodzi o te styczne, to nie zawsze jest wesoło zerknij tutaj: 155204.htm