zamiana wspolednych

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

zamiana wspolednych

Post autor: Jacek_fizyk »

czy ktos moze mi pokazac jak najlatwiej zamienic pole wektorowe podane we wspolrzednych kartezjanskich na wspolrzedne cylindryczne?

\(\displaystyle{ \vec{F}= (x^2+y^2)^{-1}(x-y,x+y,x^2z+y^2z)}\)

ma wyjsc
\(\displaystyle{ \vec{F}=\frac{ \vec{\rho}}{\rho}}+\frac{ \vec{\alpha}}{\rho}+z \vec{z}}\)
czy ktos mi moze pokazac poszczegolnymi przejsciami jak do tego dosjc? pozdr
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

zamiana wspolednych

Post autor: BettyBoo »

Przejście z układu cylindrycznego na kartezjański:

współrzędne: \(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \rho & = & \sqrt{x^2+y^2} \\ \alpha & = & \arctan\frac{y}{x} \\ z & = & z \end{matrix}\right.}\)

wektory jednostkowe: \(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \vec \rho} & = & \frac{x}{\rho}{\vec x}+\frac{y}{\rho}{\vec y} \\ {\vec\alpha} & = & -\frac{y}{\rho}{\vec x}+\frac{x}{\rho}{\vec y} \\ {\vec z} & = & {\vec z} \end{matrix}\right.}\)



Przejście z układu kartezjańskiego na cylindryczny:

współrzędne: \(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x & = & \rho\cos\alpha \\ y & = & \rho\sin\alpha \\ z & = & z \end{matrix}\right.}\)

wektory jednostkowe: \(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} {\vec x} & = & \cos\alpha{\vec \rho}-\sin\alpha{\vec \alpha} \\ {\vec y} & = & \sin\alpha{\vec \rho}+\cos\alpha{\vec\alpha} \\ {\vec z} & = & {\vec z} \end{matrix}\right.}\)

Ciebie interesuje to drugie. Wstawiasz sobie co trzeba do wzoru na pole, upraszczasz i gotowe.

==============================================
Tutaj masz taki prosty wzór na pole, że można pokombinować w drugą stronę (ale od razu ostrzegam, że to nie jest sposób uniwersalny, tylko najłatwiejszy w tym konkretnym przypadku - a o to prosiłeś )

Przekształcamy wzór pola tak, aby go dopasować do wzorów na współrzędne i wektory:

\(\displaystyle{ \vec{F}= \frac{x-y}{x^2+y^2}{\vec x}+ \frac{x+y}{x^2+y^2} {\vec y}+z{\vec z}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}{\vec x}+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}{\vec y}\right)+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\left(-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}{\vec x}+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}{\vec y}\right)+z{\vec z}}\)

a to już Ci daje - po wstawieniu - to co trzeba.


Pozdrawiam.
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

zamiana wspolednych

Post autor: Jacek_fizyk »

dzieki:) kurcze nie jest to latwe...

jesli mialabys troche czasu to czy moglabys mi pokazac jak przeksztalcic takie pole
\(\displaystyle{ \vec{F}= r^{-1}(1+r^2) \vec{r} +r^{-1}cot\theta \vec{\theta}}\)
czyli ze sferycznych na cylindryczne

ma wyjsc \(\displaystyle{ \vec{F}= \frac{ \vec{\rho}}{\rho}+r}\)
z gory Ci dziekuje!
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

zamiana wspolednych

Post autor: BettyBoo »

Skoro tak się bawisz z tym przekształcaniem pola, to przyda Ci się pewnie

Technika taka sama, jak wcześniej - podstawiasz za zmienne i podstawiasz za wektory jednostkowe, potem upraszczasz i gotowe (tylko zamień najpierw cotangens na tangens).
Jednak tak na oko nie wychodzi tyle, ile piszesz Sprawdź jeszcze raz, czy masz poprawne określenie pola.

Pozdrawiam.
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

zamiana wspolednych

Post autor: Jacek_fizyk »

witaj! dzieki za link, ja mam te wszystkie tablice, problem w tym ze przepadly mi dwa wyklady kiedy moja grupa bawila sie w to cale przeksztalcanie, i teraz mecze sie z tym ale musze sie tego koniecznie nauczyc bo o to wlasciwie opieraja sie wszystkie inne zadania.....poczawszy od calek powierzchniowych itd.
dzieki za odpowiedz anyway:)
pozdrawiam
ODPOWIEDZ