Punkt A=(0,1) jest wierzchołkiem rombu o kącie przy tym wierzchołku równym 60 stopni. Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków rombu wiedząc, że dwa z nich leżą na prostej l: 2x-y+3=0.
Ile rozwiązań ma to równanie?
Doszedłem do tego, że możliwe są trzy rozwiązania. Nie mam jednak pomysłu jak wyznaczać współrzędne tych wierzchołków. Jedno rozwiązanie powinno być takie, że na prostej leżą sąsiednie wierzchołki, a dwa pozostałe rozwiązania, że na prostej leży przeciwległy wierzchołek i jeden z sąsiednich wierzchołków. Mam nadzieję, że się nie mylę w tym rozumowaniu
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania
Wyznaczyć współrzędne wierzchołków rombu
-
Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Wyznaczyć współrzędne wierzchołków rombu
Zauważ, że krótsza przekątna tego rombu dzieli go na dwa przystające trójkąty równoboczne...Można zadanie rozwiązać np. tak
(1) i (2): Dwa przypadki naraz, gdy na prostej l leżą kolejne wierzchołki.
a) Najpierw liczymy odległość punktu A od prostej l, to wysokość w rombie.
Dalej liczymy pole \(\displaystyle{ P=ah=a^2sin60^0}\) wylicz a
Mamy bok i... promień okręgu.
b) Wyznacz równanie prostej k, równoległej do l i przechodzącej przez A.
c) Wylicz współrzędne punktów przecięcia się prostej k i l z okręgiem o środku A i promieniu a - i już masz dwie pary współrzędnych.
d) Pozostaje współrzędna C - w punktach B1 i B2 znów tworzymy okrąg o promieniu a i wyznaczamy punkty przecięcia się z prostą l.
(3) Na prostej l mamy wierzchołki leżące naprzeciwko.
a) Wyznacz współrzędne punktu S (przecięcie się prostej l i prostej do niej prostopadłej przechodzącej przez punkt A - krótko mówiąc, punkt przecięcia się przekątnych rombu).
b) Wyznacz współrzędne punktu C (ze wzoru na środek odcinka, chodzi o odcinek AC).
c) Zgodnie z pierwszym zdaniem w tym poście |AC| jest dłuższą przekątną, a |AS| jest wysokością trójkąta równobocznego. Policz zatem długość boku rombu a, to będzie też promień...
d) Teraz możesz policzyć punkty przecięcia się prostej l z okręgiem o środku A (lub C) i promieniu a.
PS przy okazji 3 przypadku, zerknij na rysunek, połowę tego rombu już masz (trójkąt równoboczny AD1D2), pozostaje obliczyć czwarty wierzchołek.
Mam nadzieję, że wszystko OK...
(1) i (2): Dwa przypadki naraz, gdy na prostej l leżą kolejne wierzchołki.
a) Najpierw liczymy odległość punktu A od prostej l, to wysokość w rombie.
Dalej liczymy pole \(\displaystyle{ P=ah=a^2sin60^0}\) wylicz a
Mamy bok i... promień okręgu.
b) Wyznacz równanie prostej k, równoległej do l i przechodzącej przez A.
c) Wylicz współrzędne punktów przecięcia się prostej k i l z okręgiem o środku A i promieniu a - i już masz dwie pary współrzędnych.
d) Pozostaje współrzędna C - w punktach B1 i B2 znów tworzymy okrąg o promieniu a i wyznaczamy punkty przecięcia się z prostą l.
(3) Na prostej l mamy wierzchołki leżące naprzeciwko.
a) Wyznacz współrzędne punktu S (przecięcie się prostej l i prostej do niej prostopadłej przechodzącej przez punkt A - krótko mówiąc, punkt przecięcia się przekątnych rombu).
b) Wyznacz współrzędne punktu C (ze wzoru na środek odcinka, chodzi o odcinek AC).
c) Zgodnie z pierwszym zdaniem w tym poście |AC| jest dłuższą przekątną, a |AS| jest wysokością trójkąta równobocznego. Policz zatem długość boku rombu a, to będzie też promień...
d) Teraz możesz policzyć punkty przecięcia się prostej l z okręgiem o środku A (lub C) i promieniu a.
PS przy okazji 3 przypadku, zerknij na rysunek, połowę tego rombu już masz (trójkąt równoboczny AD1D2), pozostaje obliczyć czwarty wierzchołek.
Mam nadzieję, że wszystko OK...