Przeciecie prostej z plaszczyzna

[Myrag]

zakladajac ze prosta L przecina plaszczyzne P opisana za pomoca punktow A=(1, 2, 0), B=(-1,-8, 4), C=(2,3,4), gdzie P1=(5,5,5) i P2=(2,1,1) leza na prostej L, sprawdzic czy prosta L przecina plaszczyzne P i obliczyc punkt przeciecia prostej z plaszczyna jesli takowy istnieje

szukam pomocy ogolnie mam mniej wiecej pojecie jak sprawdzic czy istnieje przeciecie, ale nie wiem jak obliczyc punkt przeciecia

[BettyBoo]

Trochę się zakręciłeś przy formułowaniu treści tego zadania
W każdym razie, aby obliczyć punkt przecięcia trzeba wyznaczyć równanie prostej i równanie płaszczyzny, a potem rozwiązać układ składający się z tych dwóch równań.

Pozdrawiam.

[Myrag]

oka to potrzebowalbym pomocy z rozwiazaniem ukladu


za wszelka pomoc dziekuje

[BettyBoo]

A skąd Ty taki układ weźmiesz w tym zadaniu? Przecież prosta jest w przestrzeni...

U Ciebie to wygląda tak: wektor kierunkowy prostej to np \(\displaystyle{ \vec{P_2P_1}=[3,4,4]}\), a więc równanie prostej ma postać (wykorzystuję do zapisu punkt P2:)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3t+2\\y=4t+1\\z=4t+1\\t\in\mathbb{R}\end{cases}}\)

Wektor normalny płaszczyzny najprościej obliczyć za pomocą iloczynu wektorowego jakichkolwiek dwóch wektorów zrobionych z puntów A,B,C o wspólnym początku, np \(\displaystyle{ \vec{BA}=[2,10,-4], \vec{BC}=[3,11,0]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ [2,10,-4]\times[3,11,0]=[44,12,-8]}\), to wystarczy wziąć jakiś wektor równoległy, np \(\displaystyle{ n=[11,3,-2]}\). Wobec tego równanie płaszczyzny ma na przykład postać (wykorzystuję punkt A): \(\displaystyle{ 11(x-1)+3(y-2)-2(z-0)=0\ \Rightarrow \ 11x+3y-2z=17}\)

Wobec tego układ równań ma postać

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3t+2\\y=4t+1\\z=4t+1\\11x+3y-2z=17 \end{cases}}\)

Wystarczy wstawić pierwsze trzy równania do czwartego, obliczyć t i wstawić z powrotem do pierwszych trzech równań, aby obliczyć współrzędne punktu wspólnego.

Pozdrawiam.

[Myrag]

dziekuje, wiem ze z nikad ten uklad, poprostu albo u mnie ze wzorami, ale jak juz mam co trzeba to idzie lepiej

heh no to wpadlem na zagwozdke, przeksztalcajac twoj wzor doszedlem do czegos takiego

p1 = (x1, y1, z1)
p2 = (x2, y2, z2)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = (x2 - x1) \times t + x1 \\ y = (y2 - y1) \times t + y1 \\ z = (z2 - z1) \times t + z1 \end{cases}}\)

oczywiscie mozna podstawic drugi punkt ale to nie ma znaczenia

wstawiajac do ukladu rownanie plaszczyzny mamy

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = (x2 - x1) \times t + x1 \\ y = (y2 - y1) \times t + y1 \\ z = (z2 - z1) \times t + z1 \\ Ax + By + Cz + D = 0 \end{cases}}\)

podstawmy sobie

\(\displaystyle{ A((x2-x1) \times t+x1) + B((y2-y1) \times t+y1) + C((z2-z1) \times t+z1) + D = 0}\)

lecimy dalej

\(\displaystyle{ At \times (x2-x1) +A \times x1 + Bt \times (y2-y1) +B \times y1 + Ct \times (z2-z1) +C \times z1 + D = 0}\)

segregacja i 't' przed nawias

\(\displaystyle{ t \times (A\times (x2-x1) + B \times (y2-y1) + C \times (z2-z1)) +A \times x1 +B \times y1 +C \times z1 + D = 0}\)

przenosimy na prawo i dzielimy przez nawias przy 't'

\(\displaystyle{ t = \frac{-A \times x1 -B \times y1 -C \times z1 - D }{A\times (x2-x1) + B \times (y2-y1) + C \times (z2-z1)}}\)

jedynka przed nawias

\(\displaystyle{ t = - \frac{A \times x1 +B \times y1 +C \times z1 + D }{A\times (x2-x1) + B \times (y2-y1) + C \times (z2-z1)}}\)

teraz pytanie, z kad mi wyszla ta -1 na pocztaku, to niby pasuje do wzoru ktory pozniej znalazlem
ale ma przeciwny zwrot, i wynik trzeba sprawdzac w zakresie 0 do -1, co mi sie nie podoba,
blad w logice??

wzor ktory znalazlem:
solution 2 to moj wzor, tylko ma przeciwny zwrot, jakies pomysly ?

[BettyBoo]

Ty masz dobrze (z dokładnością do tego, ze przy D w liczniku ma być plus) i na stronie też jest dobrze
Po prostu na stronie wrzucili ten minus do mianownika (zwróć uwagę, że u Ciebie jest x2-x1, a u nich jest x1-x2 itd)

Pozdrawiam.

[Myrag]

tak minus przy D to lekkie przeoczenie, zaraz poprawie

tak tez myslalem ze kierunek wektora determinuje ta wartosc -1, ale chcialem sie upewnic, dzieki

plusik dla Ciebie