Iloczyn skalarny wektorów.

Mirthall · Post autor: **Mirthall** » 18 maja 2006, o 14:37

Witam!

Zadanie: Boki AB i BC prostokąta ABCD mają odpowiednio długości 12 i 16 oblicz iloczyn skalarny wektorów AB i CA.

Mam zapytanie czy iloczyn będzie równy:

\(\displaystyle{ \vec{AB} \circ \vec{CA} = (-1) |AB| |CA| \cos (\angle( \vec{AB},\vec{CA}))}\)

Czy bez "(-1)"?

Podczepiam drugie zadanie:

Wektory u i v mają odpowiednio długości 4 i \(\displaystyle{ 5 \sqrt{2}}\) a kąt między nimi ma miarę 135 stopni. Oblicz długość wektora t = u +3v.

Czy poprawną metodą jest takie rozwiązanie?

\(\displaystyle{ t^2 = |a|^2 + 6(|a||b| \cos 135^{\circ}) 9 |b|^2}\)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 18 maja 2006, o 16:48

Post troszę poprawiłem, by był bardziej czytelny zapis.
Może ja czegoś nie rozumiem, ale skoro mamy prostokąt ABCD to boki AB i CD są równoległe, czyli powinny być tej samej długości... Zakładając jednak, że zamiast boku CD chodziło o bok CA, to wzór bez tej "-1" bo niby po co ona?

Sir George · Post autor: **Sir George** » 18 maja 2006, o 17:16

Ad.2.
\(\displaystyle{ \fontsize{2}|t|^2=t\circ t= (u+3v)\circ(u+3v)=u\circ u + 6u\circ v +9 v\circ v}\)
i dochodzisz do Twojego wzoru (pamiętając, że iloczn skalarny jest przemienny, tj. \(\displaystyle{ \fontsize{2}u\circ v=v\circ u}\)).

Mirthall · Post autor: **Mirthall** » 18 maja 2006, o 17:39

Oj przepraszam, na sprawdzianie też był błąd i chodziło o boki AB, BC. A (-1) dlatego że mają przeciwne kierunki(?).

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 18 maja 2006, o 22:00

(-1) jest tam dlatego, że dla wygody obliczeń chcemy "sztucznie" obrócić wektor \(\displaystyle{ \vec{CA}}\) do wektora \(\displaystyle{ \vec{AC}}\) (wtedy będziemy mieli dwa ładne wektory wychodzące z tego samego wierzchołka). Pomimo, że w iloczynie skalarnym występują długości wektorów, które przecież nie zależą od ich zwrotu, to jednak bierzemy poprawkę na kąt między wektorami - w twoim zapisie z pierwszego postu jest błąd, gdyż jeśli zostawimy tą (-1) to powinno tam być \(\displaystyle{ cos(\angle(\vec{AB},\vec{AC}))}\) (zwróć uwagę, że zapisałem wektor \(\displaystyle{ \vec{AC}}\) zamiast \(\displaystyle{ \vec{CA}}\)). Pewnie i tak "zwykły uczeń" by wziął właściwy kąt, ale dla pełnej poprawności powinno być tak jak piszę. A wynika to z faktu, że jeśli weźmiemy kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{CA}}\), to będzie on wklęsły (będzie miał ponad 180 stopni co zresztą sam zauważyłbyś gdybyś "przesunął" wektor \(\displaystyle{ \vec{CA}}\) tak, żeby C nałożył się na A), natomiast gdy weźmiemy ową "poprawkę" (-1) to zmieniamy wektor \(\displaystyle{ \vec{CA}}\) na \(\displaystyle{ \vec{AC}}\), więc i inny kąt rozważamy. Nie zmieni to jednak wyniku - "nowy" kąt będzie się różnił od "starego" o dokładnie 180 stopni a ze wzorów redukcyjnych \(\displaystyle{ \cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha}\).
Ufff. Ale się rozpisałem. Mam nadzieję, że coś z tego zrozumiałeś i będzie z tego jakiś pożytek

Mirthall · Post autor: **Mirthall** » 18 maja 2006, o 22:14

Wzory redukcyjne znam - i niestety zastosowałem razem z "-1"