Rzut wektora a na oś o kierunku wektora b

[miki999]

Niestety nic ambitnego.
Proszę o wzór na rzut wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) na oś o kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{b}}\).

Oczywiście googlowałem, ale niestety nic nie znalazłem.


Pozdrawiam.

[czeslaw]

Ale chodzi o długość? \(\displaystyle{ |\vec{a_{b}}| = |\vec{a}| \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{a_x \cdot b_x}{|\vec{b}|} + \frac{a_y \cdot b_y}{|\vec{b}|}}\)

Zakładam przypadek, do którego da się sprowadzić wszystkie inne - początek wektora \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jest w początku układu współrzędnych.

[miki999]

Ale chodzi o długość?

Nie, chodzi o wektor.

[czeslaw]

To najprościej chyba będzie obliczyć długość z tego wzoru który napisałem, po czym zauważyć, że współrzędne szukanego wektora to: \(\displaystyle{ [k \cdot b_x, k \cdot b_y]}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest współczynnikiem proporcjonalności, który znajdujemy: \(\displaystyle{ k = \frac{|\vec{a_b}|}{\sqrt{b_x^2 + b_y^2}}}\)

[miki999]

Konkretnie to mam takie zadanko (z pominięciem banałów):
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[1;-4;1] \\ \vec{AD}= \frac{1}{2} \vec{AB} = [ \frac{1}{2};-2;- \frac{1}{2} ]}\)
Są równoległe. Rzut \(\displaystyle{ \vec{AD}}\) na oś o kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{AB}}\):
\(\displaystyle{ k= \frac{1}{2}}\)
(bo jakby nie patrzeć jest to iloraz \(\displaystyle{ \vec{AD}\ i\ \vec{AB}}\))

W odp. mam, że ten rzut to wektor:
\(\displaystyle{ \frac{5}{18} \ \vec{AB}}\)