Sześciokąt wpisany w elipse

[Marta99]

W elipsę wpisano sześciokąt o równych bokach, którego dwa wierzchołkileżą leżą w końcach osi małej. Zleleźć współrzędne pozostałych wierzchołków sześciokąta, wiedząc, że elipsa ma równanie
\(\displaystyle{ 36x ^{2} +4y ^{2} =144}\)




Z góry dziękuje za pomoc, to dlamnie bardzo ważne.
Pozdrawiam

[xiikzodz]

Krótka oś ma końce:

\(\displaystyle{ (-2,0)}\)

\(\displaystyle{ (2,0)}\)

Niech \(\displaystyle{ (x,y)}\) bdzie takim wierzchołkiem z pierwszej ćwiartki. Wówczas pozostałe szukane wierzchołki to \(\displaystyle{ (-x,y),(x,-y),(-x,-y)}\).

Odległość \(\displaystyle{ (x,y)}\) od \(\displaystyle{ (2,0)}\) jest rowna odległości \(\displaystyle{ (x,y)}\) od \(\displaystyle{ (-x,y)}\), bo sześciokąt ma boki rownej długości. Ta druga odleglość to \(\displaystyle{ 2x}\), zaś ta pierwsza to:

\(\displaystyle{ \sqrt{(2-x)^2+y^2}}\)

Zatem porownując te odległości otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ (2x)^2=4x^2=(2-x)^2+y^2}\)

Wystarczy teraz wstawić do niego zależność z równania elipsy:

\(\displaystyle{ y^2=36-9x^2}\)

i otrzymujemy rownanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ 4x^2=(2-x)^2+36-9x^2}\),

ktore sprowadzamy do:

\(\displaystyle{ 12x^2+4x-40=0}\)

lub równoważnie:

\(\displaystyle{ 3x^2+x-10=0}\).

Stąd \(\displaystyle{ x=\frac{10}6}\), bo szukamy w pierwszej ćwiartce. Pozostaje wyznaczyć \(\displaystyle{ y=\frac{20}6}\) i wypisać współrzędne reszty punktów.

[anna_]

Stąd \(\displaystyle{ x=\frac{10}6}\), bo szukamy w pierwszej ćwiartce. Pozostaje wyznaczyć \(\displaystyle{ y=\frac{20}6}\) i wypisać współrzędne reszty punktów.

Gdzieś masz błąd bo \(\displaystyle{ (\frac{10}6;\frac{20}6)}\), nie spełnia równania elipsy.
Mi wyszło (\(\displaystyle{ \frac{10}6; \sqrt{11})}\)-- dzisiaj, o 16:59 --Będzie jeszcze jeden przypadek.
Co drugi wierzchołek może leżeć na końcach osi.
wtedy punkt z I ćwiartki będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ ( \frac{9 \sqrt{66} -4}{41} ; \frac{3 \sqrt{66} +108}{41} )}\)