równania stycznych

[jarmiar]

mam problem z zadaniem:

Napisz równania stycznych do okręgu o i przechodzących przez punkt A jeśli:

\(\displaystyle{ o:x^{2}+y^{2}=4; A(6, -2)}\)

niby wiem, ze trzeba podstawic wspolrzedne punktu A do równania ogólnego prostej:

0=ax-y+b

wyznaczyć wzór na wsp. b i potem do wzoru na odległość punktu od prostej (przy założeniu że r=d(S, k), gdzie k to jedna styczna) podstawic za C wyrażenie oznaczające wsp b równania prostej

tam trzeba bedzie podniesc do kwadratu i z delty obliczyc a1 i a2 no właśnie tylko mi delta wychodzi ujemna!!

mogłby ktos sprobowac je zrobic??

[Chromosom]

Ale sobie skomplikowałeś. Nie trzeba żadnych współrzędnych biegunowych itd, wystarczy skorzystać z interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji w punkcie (styczna do wykresu funkcji w tym punkcie). Musimy znaleźć równanie prostej: \(\displaystyle{ y=ax+b}\). Pierwsze równanie można ułożyć bardzo prosto; wystarczy zauważyć, że funkcja o tym wzorze przyjmuje wartość -2 dla x=6. Czyli mamy \(\displaystyle{ -2=6a+b}\). Oznaczmy teraz przez \(\displaystyle{ x_0}\) punkt przecięcia prostej i okręgu (punkt styczności). Podzielimy ten okrąg na dwie części: \(\displaystyle{ y=\sqrt{4-x^2};y=-\sqrt{4-x^2}}\) i znajdziemy równanie stycznej do pierwszej z nich; drugą znajdziesz sam. Od razu widać, że funkcja w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \sqrt{4-x_0^2}}\), mamy wobec tego równanie \(\displaystyle{ \sqrt{4-x_0^2}=ax_0+b}\). By móc wyznaczyć wartości wszystkich niewiadomych, potrzebne jest trzecie równanie, otrzymamy je z interpretacji geometrycznej pochodnej: \(\displaystyle{ y=xf^{\prime}(x_0)+b}\). Pochodna funkcji \(\displaystyle{ y=\sqrt{4-x^2}}\) wynosi \(\displaystyle{ -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}}\), wobec tego mamy \(\displaystyle{ \sqrt{4-x_0^2}=x_0\left(-\frac{x_0}{\sqrt{4-x_0^2}}\right)+b}\). Porządkując, mamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}-2=6a+b\\ \sqrt{4-x_0^2}=ax_0+b\\ \sqrt{4-x_0^2}=-\frac{x_0^2}{\sqrt{4-x_0^2}}+b\end{cases}}\).
Pozostawiam do samodzielnego rozwiązania.