Trójkąt równoboczny - współrzędne trzeciego wierzchołka

zsim · Post autor: **zsim** » 31 paź 2009, o 14:24

Cześć,
mam tylko współrzędne dwóch wierzchołków trójkąta równobocznego.
Wiem, że ze wzoru na punkt przecięcia środkowych :
\(\displaystyle{ x_{s}= \frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}}\)
\(\displaystyle{ y_{s}= \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}}\)
można wyznaczyć wsp. trzeciego wierzchołka, no ale właśnie ... jak w tym celu wyznaczyć wsp. punktu przecięcia środkowych ? Z góry dzięki za pomoc.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 31 paź 2009, o 14:28

Trzeci wierzchołek leży na prostej prostopadłej do tej która przechodzi przez dwa dane i środek danego boku. Odległość szukanego od środka danego boku jest zależna od długości tego danego (to wysokość trójkąta).
Ogólnie może być dwa dobre rozwiązania.

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 31 paź 2009, o 14:29

Można zadanie zrobić "na piechotę".
1. Wyznacz prostą przechodzącą przez punkty A i B.
2. Wyznacz środek odcinka AB (oznaczmy go D).
3. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt D oraz prostopadłej do prostej z pkt. 1.
4. Rozwiąż układ równań: pierwsze równanie to prosta z pkt. 3, drugie równanie to równanie okręgu o w środku A (lub B) i promieniu |AB|.

zsim · Post autor: **zsim** » 31 paź 2009, o 14:39

Sherlock pisze:Można zadanie zrobić "na piechotę".
3. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt D oraz prostopadłej do prostej z pkt. 1.
4. Rozwiąż układ równań: pierwsze równanie to prosta z pkt. 3, drugie równanie to równanie okręgu o w środku A (lub B) i promieniu |AB|.

A mógłbyś rozpisać te równania ?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 31 paź 2009, o 14:46

Skoro znasz współrzędne A i B to z gotowego wzoru lub układu równań wyznaczysz wzór: \(\displaystyle{ y=ax+b}\). Środek odcinka AB ma współrzędne: \(\displaystyle{ D( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})}\). Prosta prostopadła ma współczynnik: \(\displaystyle{ a'= -\frac{1}{a}}\), współczynnik b wyliczysz podstawiając punkt D.
Równanie okręgu ma wzór: \(\displaystyle{ (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=|AB|^2}\). Rozwiązujesz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=|AB|^2 \\ prosta. z. pkt. 3 \end{cases}}\)

zsim · Post autor: **zsim** » 31 paź 2009, o 15:02

Czyli jeśli dobrze rozumiem, to to równanie będzie wyglądać nast. :

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 \\ y = -\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}*(x - x_A) + y_A
\end{cases}}\)

gdzie wyliczony x to będzie moje \(\displaystyle{ x_C}\) a y to będzie moje \(\displaystyle{ y_C}\) , zgadza się ?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 paź 2009, o 15:14

Nawet i bez prostej się obejdzie, bo wystarczy część wspólna 2 okręgów o środkach w 2 wierzchołkach i promieniu |AB|.

zsim · Post autor: **zsim** » 31 paź 2009, o 15:40

Lorek, słuszna uwaga.

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 31 paź 2009, o 16:38

No tak, na papierze to też tylko dwa machnięcia cyrklem