Trzeci wierzcholek

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
animashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 17 maja 2008, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sz-n
Podziękował: 10 razy

Trzeci wierzcholek

Post autor: animashi »

Zadanie:
W trójkącie ABC dane są wierzchołki \(\displaystyle{ A = (-2,0)}\) i \(\displaystyle{ B = (4,-4)}\) oraz wiadomo, że wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) leży na dodatniej części \(\displaystyle{ OY}\), a kąt przy tym wierzchołku jest prosty. Oblicz współrzędne wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) oraz długość środkowej poprowadzonej z tego wierzchołka.

Moje obserwacje:
Mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym. Znamy dwa wierzchołki, szukamy trzeciego \(\displaystyle{ C (0,y)}\), który znajduje się w punkcie przecięcia dwóch prostych - 1. zawierająca punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\), 2. zawierająca punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\), są one prostopadłe (90 stopni) więc iloczyn ich współczynników \(\displaystyle{ a}\) wynosi \(\displaystyle{ -1}\). Próbowałem opisać ten trójkąt na okręgu, wtedy promień tego okręgu (\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left|AB\right|}\)) jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) i jest tym samym równy środkowej. Lecz, co z współrzędnymi punktu \(\displaystyle{ C}\)?

Siedzę nad zadaniem od godziny. Proszę o pomoc.
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Trzeci wierzcholek

Post autor: Sherlock »

Skorzystaj z tego, że kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Środek odcinka AB to także środek O naszego okręgu, wyznacz także długość promienia czyli |AO|. Teraz pozostaje znaleźć punkty przecięcia się okręgu z prostą x=0
animashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 17 maja 2008, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sz-n
Podziękował: 10 razy

Trzeci wierzcholek

Post autor: animashi »

Skorzystałem z tego i obliczyłem promień, zapisałem to w pierwszym poście. Wstawiając do równania okręgu otrzumuje, iż\(\displaystyle{ y= \sqrt{13} \Rightarrow \left|AO\right|= \left|CO \right|}\), czyli promieniowi.

Z tego wynika, że \(\displaystyle{ C(0, \sqrt{13})}\), a to nie działa.... Ma ktoś pomysł jak to zrobić funkcjami liniowymi? Z wykorzystaniem informacji o iloczynie współczynników \(\displaystyle{ a}\) równym \(\displaystyle{ -1}\).
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Trzeci wierzcholek

Post autor: Sherlock »

Chodziło mi o to, że wyznaczasz środek odcinka AB czyli O(1,-2) - to środek okręgu. Długość odcinka AO to promień, pozostaje rozwiązać układ równań (wybierzesz ten punkt dla którego współrzędna y>0):
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-1)^2+(y+2)^2=13 \\ x=0 \end{cases}}\)

-- 31 października 2009, 19:55 --

Jeśli chodzi o rozwiązanie za pomocą prostych:
1. Szukamy prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C(0,y_c)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=-2a+b \\ y_c=b \end{cases}}\)
czyli: \(\displaystyle{ y= \frac{y_c}{2} x+ y_c}\)
2. Szukamy prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C(0,y_c)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -4=4a+b \\ y_c=b \end{cases}}\)
czyli: \(\displaystyle{ y= \frac{-4-y_c}{4} x+ y_c}\)
3. Ponieważ proste mają być prostopadłe to:
\(\displaystyle{ \frac{y_c}{2}=(-1) \cdot \frac{1}{\frac{-4-y_c}{4}}}\)
Wyliczamy \(\displaystyle{ y_c}\) i wybieramy \(\displaystyle{ y_c>0}\)
animashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 17 maja 2008, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sz-n
Podziękował: 10 razy

Trzeci wierzcholek

Post autor: animashi »

Próbowałem z równania okręgu, które podałeś we wcześniejszym poście i:

\(\displaystyle{ (y+2) ^{2}=12}\)
\(\displaystyle{ y ^{2}+4y+4=12}\)
\(\displaystyle{ y ^{2}+4y-8=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16+4 \cdot8=48}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ y _{c}>0 \Rightarrow yc= \frac{-4+4 \sqrt{3}}{2}}\)

Jakoś nieciekawie

wstawiająć mój "poprawny" wynik do trzeciego równania z iloczynem współczynników \(\displaystyle{ a}\) otrzymuje fałsz (\(\displaystyle{ 4 \sqrt{3}=11}\)).
Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Trzeci wierzcholek

Post autor: Quaerens »

Ja bym najpierw zrobił rysunek pomocniczy i do wyznaczenia współrzędnej wierzchołka C \(\displaystyle{ (0;y)}\) policzył kwadrat długości odcinka \(\displaystyle{ |AB|^{2}, |BC|^{2}, |CA|^{2}}\) i mając je skorzystał z: \(\displaystyle{ |AC|^{2}+|BC|^{2}=|AB|^{2}}\) czyli podstawił do tw. pitagorasa. Wychodzi zapewne f. kwadratowa i miejsca zerowe.

-- 1 listopada 2009, 08:14 --

A co do długości środkowej to raczej trzeba skorzystać z odległości punktu od prostej.

-- 1 listopada 2009, 08:21 --
animashi pisze:Próbowałem z równania okręgu, które podałeś we wcześniejszym poście i:

\(\displaystyle{ (y+2) ^{2}=12}\)
\(\displaystyle{ y ^{2}+4y+4=12}\)
\(\displaystyle{ y ^{2}+4y-8=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16+4 \cdot8=48}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ y _{c}>0 \Rightarrow yc= \frac{-4+4 \sqrt{3}}{2}}\)

Jakoś nieciekawie

wstawiająć mój "poprawny" wynik do trzeciego równania z iloczynem współczynników \(\displaystyle{ a}\) otrzymuje fałsz (\(\displaystyle{ 4 \sqrt{3}=11}\)).
Liczyłem moją metodą i delta się zgadza, zaraz sprawdzę y czy dobrze masz.

-- 1 listopada 2009, 08:24 --

No i masz współrzędne to:

\(\displaystyle{ C=(0,-2-2 \sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ C'=(0,-2+2 \sqrt{3})}\)-- 1 listopada 2009, 08:33 --

\(\displaystyle{ |AB|^{2}=(-4+0)^{2}+(4+2)^{2}=52 \\ |BC|^{2}=(0-4)^{2}+(y+4)^{2}=16+y^{2}+8y+16 \\ |AC|^{2}=(0+2)^{2}+(y-0)^{2}=4+y^{2} \\ |AC|^{2}+|BC|^{2}=|AB|^{2} \\ 4+y^{2}+16+y^{2}+8y+16=52 \\ 2y^{2}+8y-16=0 \\ y^{2}+4y-8=0}\)
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Trzeci wierzcholek

Post autor: Sherlock »

animashi pisze:Jakoś nieciekawie
Toż to przeca też liczby
animashi, rozwiązaniem zadania jest właśnie \(\displaystyle{ yc= \frac{-4+4 \sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3}-2}\)
Gdybyś to chciał liczyć, nie z okręgu, a z prostych, to trzeba rozwiązać to równanie które zapisałem wyżej czyli:
\(\displaystyle{ \frac{y_c}{2}=(-1) \cdot \frac{1}{\frac{-4-y_c}{4}}}\)
\(\displaystyle{ 8=4y_c+{y_c}^2}\)
\(\displaystyle{ {y_c}^2+4y_c-8=0}\)
Wszystko się zgadza
Ostatnio zmieniony 2 lis 2009, o 14:13 przez Sherlock, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Trzeci wierzcholek

Post autor: Quaerens »

Źle zacytowałeś
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Trzeci wierzcholek

Post autor: Sherlock »

damianplflow pisze:Źle zacytowałeś
Przepraszam, już poprawione
ODPOWIEDZ