Iloczyn wektorowy - bardzo ciekawe

[patryk1990]

Witam ostatnio znalazłem ciekawe zadanie, ale nie mogę tego ugryść.
Pewien student twierdzi, że znalazł wektor A taki, że (2i − 3j + 4k) ×A = (4i + 3j − k). Czy można mu wierzyć?

[Kamil_B]

I sposób - na chama:

Ukryta treść:    

Mamy rownanie:

\(\displaystyle{ [2,-3,4] \times \vec{A}=[4,3,-1]}\)

Korzystamy ze wzoru wyznacznikowego na iloczyn wektorowy:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} i&j&k\\2&-3&4\\a&b&c\end{vmatrix}=[4,3,-1]}\)

gdzie \(\displaystyle{ \vec{A}=[a,b,c]}\).
Liczymy ten wyznacznik, przyrównujemy odpowiednie wspołrzędne wektorów i pokazujemy, ze tak otrzymany układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b,c}\) nie ma rozwiązania.

II sposob - sprytnie:

Ukryta treść:    

Wprost z definicji iloczynu wektorowego otrymujemy,że gdyby taki wektor A istniał to musiałoby być:

\(\displaystyle{ [2,-3,4] \perp [4,3,-1]}\)

A to nie jest prawdą ( wystarczy policzyć iloczyn skalarny tych wektorów-nie wychodzi 0.)

[patryk1990]

coś mi świta, a można by było jaśniej troche

[Kamil_B]

Odpowiedz to oczywiście

Ukryta treść:    

Student kłamie.

W zasadzie to masz napisane rozwiązanie juz.
Czego konkretnie nie rozumiesz?

[patryk1990]

nie kumam tego sprytnego sposobu

[Kamil_B]

Popatrz na definicję iloczynu wektorowego.
Jesli mamy dwa wektory, powiedzmy \(\displaystyle{ u}\) oraz \(\displaystyle{ v}\) , to ich iloczyn wektorowy (czyli po prostu pewien wektor) musi byc prostopadly do \(\displaystyle{ u}\) oraz do \(\displaystyle{ v}\).
A pokazałem, ze w tym przypadku tak nie jest, czyli taki wektor \(\displaystyle{ A}\) nie istnieje.