Iloczyn wektorowy, dowodzenie.

[kanciak247]

Ud, że dla dowolnych wektorów \(\displaystyle{ \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}}\), wektory \(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b}, \ \vec{a} \times \vec{c}, \ \vec{a} \times \vec{d}}\) są współpłaszczyznowe.

[Kamil_B]

Powinno wystarczyć pokazanie, że:

\(\displaystyle{ \left ((\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c}) \right ) \circ \left (\vec{a} \times \vec{d}\right )=0}\)

(czyli, że iloczyn mieszany tych trzech wektorow jest równy 0)

Wskazówka 1:

Ukryta treść:    

W tym celu zauważ, że powyższy warunek jest równoważny nastepującemu:

\(\displaystyle{ (\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c}) \perp (\vec{a} \times \vec{d})}\)

Wskazówka 2:

Ukryta treść:    

Zauważ, że \(\displaystyle{ (\vec{a} \times \vec{b})}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{a}}\), oraz że \(\displaystyle{ (\vec{a} \times \vec{c})}\) jest również prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{a}}\)

Wskazówka 3:

Ukryta treść:    

Stąd z wskazówki 2 i definicji iloczynu wektorowego wynika, że \(\displaystyle{ \left ((\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c}) \right )}\) jest równoległy do wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\)

Wskazówka 4:

Ukryta treść:    

Jak myślisz do jakiego wektora jest prostopadły \(\displaystyle{ (\vec{a} \times \vec{d})}\), co to daje w związku z poprzednimi wskazówkami i dlaczego to już koniec zadania ?