Wyznacz równanie okręgu

[szymek]

Okrąg przechodzący przez punkt A=(-1;1) jest styczny do prostej o równaniu y=x-2 w punkcie P=(4,2). Wyznacz równanie tego okręgu.

Więc prostopadła y=-x+b , przechodzi przez punkt P więc 2=-4+b, więc b=6

\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{2}=(4-a)^{2}+(2-b)^{2} \\ r^{2}=(-1-a)^{2}+(1-b)^{2} \\ b=-a+6 \end{cases}}\)
dochodzę do momentu \(\displaystyle{ 2a^{2} -4a+8=0}\) i mam delte <0 widziałem na forum rozwiązanie przy użyciu wzoru na długość odcinków, w tym przypadku promieni, ale wydaje mi się, że z tego układu też powinno dać się to zrobić. Z góry dziękuję za pomoc

[Sherlock]

\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{2}=(4-a)^{2}+(2-b)^{2} \\ r^{2}=(-1-a)^{2}+(1-b)^{2} \\ b=-a+6 \end{cases}}\)

zatem
\(\displaystyle{ (4-a)^{2}+(2-b)^{2}=(-1-a)^{2}+(1-b)^{2}}\)
po wyliczeniach zostaje:
\(\displaystyle{ 18-10a-2b=0}\)
Teraz wystarczy rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 18-10a-2b=0 \\ b=-a+6 \end{cases}}\)

[szymek]

Dokładnie tak, tylko później mi się coś sypie w obliczeniach. Podejrzewam, że chodzi o to \(\displaystyle{ (-1-a)^{2}}\) ja to zapisuje tak \(\displaystyle{ -(a+1)^{2}}\) chyba, że można to zapisać jako zwyczajne \(\displaystyle{ (a+1)^{2}}\) bo tak czy siak w przypadku jak 2 wyrazy są w nawiasie ujemne to kwadrat będzie dodatni. Racja?

[Sherlock]

\(\displaystyle{ (-1-a)^2=[(-1)+(-a)]^2}\)
lub równoważnie
\(\displaystyle{ (-1-a)^2=[(-1) \cdot (1+a)]^2=(-1)^2 \cdot (1+a)^2=(1+a)^2}\)