wykaz, ze równanie

[monikap7]

Wykaż, że jesli a i b są różne to równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2+ax+by+0,5ab=0}\) jest równanie okręgu. Podaj długość promienia.

[Kamil_B]

Po zastosowaniu wzorów skroconego mnożenia mamy:

\(\displaystyle{ (x+\frac{1}{2}a)^{2}+(y+\frac{1}{2}b)^{2}-\frac{1}{4}(a-b)^{2}=0}\)

Stąd już widać dlaczego musi być \(\displaystyle{ a \neq b}\)(bo promień ma byc większy od 0)

[xanowron]

Z powodu ryzyka pomyłki zmieńmy oznaczenia w naszym równaniu na:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+dx+ey+\frac{1}{2}de=0}\)

Weźmy równanie ogólne okręgu:
\(\displaystyle{ x^2+y^2-2ax-2by+c=0}\)
Warunkiem istnienia okręgu jest to, że liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają nierówność \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}-c>0}\)

Korzystając z oczywistej nierówności i tego, że \(\displaystyle{ d \neq e}\) mamy \(\displaystyle{ (d-e)^{2} >0}\)
Równoważnie: \(\displaystyle{ d^{2}+e^{2}-2de >0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}d^{2}+\frac{1}{4}e^{2}-\frac{1}{2}de >0}\)
Zatem nasze równanie opisuje okrąg.