odległość punktu od prostej i pole trójkąta

[asencja92]

Oblicz odległość punktu \(\displaystyle{ C}\) o współrzędnych \(\displaystyle{ C=(2, -4)}\) od prostej \(\displaystyle{ y= 3x+6}\).
Oblicz pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), jeśli wierzchołki \(\displaystyle{ A, B}\) są punktami przecięcia danej prostej z osiami układu współrzędnych.

Proszę o pomoc

[Sherlock]

Oczywiście, wykonaj rysunek

Oblicz odległość punktu C o współrzędnych C=(2, -4) od prostej y= 3x+6.

1. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt C i prostopadłej do danej prostej.
2. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się obu prostych, oznaczmy go D.
3. Wylicz długość odcinka CD.

Oblicz pole trójkąta ABC, jeśli wierzchołki A, B są punktami przecięcia danej prostej z osiami układu współrzędnych.

1. Wyznacz punkt przecięcia się prostej z osią OX (miejsce zerowe czyli x=0), oznaczmy ten punkt A.
2. Wyznacz punkt przecięcia się prostej z osią OY (y=0), oznaczmy ten punkt B.
3. Policz długość odcinka AB.
4. Odcinek CD z pierwszej części jest wysokością opadającą na bok AB, więc:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD|}\)

[lukasz1804]

1. Przekształcając równanie prostej \(\displaystyle{ y=3x+6}\) do postaci normalnej dostajemy \(\displaystyle{ 3x-y+6=0}\). Ze wzoru na odległość punktu od prostej wnioskujemy, że odległość punktu \(\displaystyle{ C}\) od danej prostej wynosi

\(\displaystyle{ \frac{|2\cdot 3+(-4)\cdot(-1)+6|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}}\).