Napisac rownania stycznych do elipsy

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
asmo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 17 paź 2009, o 13:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 3miasto
Podziękował: 41 razy

Napisac rownania stycznych do elipsy

Post autor: asmo »

Witam,
Polecenie: Napisac rownania stycznych do elipsy \(\displaystyle{ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1}\) przechodzacych przez punkt A=(4,5).

Z rysunku mozna odczytac, ze jednym z rozwiazan bedzie na pewno x = 4.

Druga prosta bedzie miala postac y=ax+b. Powinienem znalezc a albo b, nastepnie wstawic rownanie z parametrem do rownania elipsy. Poniewaz sa to styczne to delta = 0. I z tego ostatecznego rownania oblicze sobie parametr i bede znal rownanie drugiej stycznej po znalezniu dwoch niewiadomych (a i b) co juz jest trywialne.

Nie moge wymyslic w jaki sposob znalezc pierwszy parametr, wydaje mi sie ze trzeba znalezc b - potem juz z gorki.

Dodam, ze prawidlowymi rownaniami wedlug oficjalnych odpowiedzi z podrecznika sa: x = 4 lub x-4y+16=0.

Dziekuje za zainteresowanie i pozdrawiam,
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Napisac rownania stycznych do elipsy

Post autor: piasek101 »

Jak już się zna odpowiedź to łatwo podpowiadać.

Trzeba było zauważyć, że dla y = 0 mamy (z równania elipsy) \(\displaystyle{ x^2=16}\); czyli jedna ze stycznych jest pionowa bo przechodzi przez punkt o odciętej 4.
asmo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 17 paź 2009, o 13:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 3miasto
Podziękował: 41 razy

Napisac rownania stycznych do elipsy

Post autor: asmo »

To akurat zauwazylem z rysunku - jak napisalem w poscie. Wciaz nie wiem jak szukac kierunkowej. Zastanowie sie nad tym na swiezo, teraz raczej nic ciekawego nie wymysle.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Napisac rownania stycznych do elipsy

Post autor: piasek101 »

Proste pionowe nie są funkcjami; nie wiem zatem o jakiej kierunkowej piszesz.
asmo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 17 paź 2009, o 13:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 3miasto
Podziękował: 41 razy

Napisac rownania stycznych do elipsy

Post autor: asmo »

Juz wiem jak poradzic sobie z tym problemem, wychodzi zgodnie z odpowiedziami, ale jest duzo przeksztalcen, nie bede dokladnie ich przepisywal, tylko ogolne informacje co trzeba zrobic aby watek nie pozostal nierozwiazany.

Pierwsza prosta odczytujemy z rysunku jest to \(\displaystyle{ x=4}\).
Druga prosta (zgodnie z tym jak wyglada na rysunku ma rownanie y=ax+b). Przechodzi przez punkt (4,5) wiec:
\(\displaystyle{ 5=4a+b\\
b=5-4a}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ y=ax+5-4a}\)

Nastepnie podstawiamy do rownania Elipsy:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{16}+\frac{(ax+5-4a)^2}{15}=1}\)

Jest to rownanie kwadratowe, poniewaz prosta jest styczna rownanie ma jedno rozwiazanie, wiec delta = 0.

Po rozwiazaniu rownania parametrycznego dochodzimy do:
\(\displaystyle{ a=\frac{1}{4}}\)

Wzor stycznej kierunkowej ma postac: \(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}x+4}\)
ODPOWIEDZ