Równanie stycznej do okręgu, przechodzącej przez punkt.

[michael.ovi]

Wydawało się, że jakoś pójdzie, no ale jest problem...

"Wyznacz równanie stycznej do okręgu \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4}\) przechodzącej przez punkt (-2,3)."

Niech \(\displaystyle{ Q=(x_{1},y_{1})}\) oznacza niewiadomy punkt styczności danego okręgu i poprowadzonej stycznej.

\(\displaystyle{ (x_{1}-1)(x-1)+(y_{1}+2)(y+2)=4}\)

\(\displaystyle{ P=(-2,3)}\)

\(\displaystyle{ (x_{1}-1)(-2-1)+(y_{1}+2)(3+2)=4}\)
\(\displaystyle{ -3(x_{1}-1)+5(y_{1}+2)=4}\)
\(\displaystyle{ 3x_{1}-5y_{1}-9=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x_{1}-1)^{2}+(y_{1}+2)^{2}=4 \\ 3x_{1}-5y_{1}-9=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}^{2}-2x_{1}+1+y_{1}^{2}+4y_{1}+4=4 \\ x_{1}= \frac{5}{3}y_{1}+3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ (\frac{5}{3}y_{1}+3)^{2}-2(\frac{5}{3}y_{1}+3)+y_{1}^{2}+4y_{1}+1=0}\)

\(\displaystyle{ 34y_{1}^2+96y_{1}+36=0}\)

\(\displaystyle{ delta = 4320}\)

\(\displaystyle{ y_{1}= \frac{-24-3 \sqrt{30}}{17} \vee y_{1}= \frac{-24+3 \sqrt{30}}{17}}\)

Z tego wychodzi, że:

\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{33+15 \sqrt{30}}{51} \vee x_{1}= \frac{33-15 \sqrt{30}}{51}}\)


Tu miałbym te punkty styczności i dalej wyliczyłbym na ich podstawie równania stycznych... No ale stanąłem z załamanymi rękami. Takie liczby? Gdzieś coś musiałem walnąć, ale nie wiem gdzie, a może ten sposób jakiś zły? Z tym, że robiłem na podstawie przykładu z podręcznika... Ktoś pomoże? Jak to rozwiązać?

[piasek101]

Szukasz prostych postaci \(\displaystyle{ y=ax+(3+2a)}\) (bo idą przez dany punkt).

Dalej masz (co najmniej) dwie możliwości (oprócz poszukania na forum - a było tego sporo) :

1. układ : okrąg - prosta ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie

2. odległość prostej od środka okręgu ma być równa promieniowi.