Zadania z okręgami i prostymi

[prt]

mam problem z trzema zadaniami

1.napisz rownanie okregu, ktorego srodek znajduje sie na prostej k, przechodzacej przez punkty A i B jesli

k: y=2x+4 ; A(3,0) B(4,1)


2. Napisz rowania stycznych do okregu i rownoleglych do prostej k.

o: \(\displaystyle{ x^2 + y^2 - 2x - 15 =0}\)
k: y=-3x


3. Zbadaj w zaloznosci od warotsic parametru m, liczbe punktow wspolnej okregu z prostą.

o: \(\displaystyle{ (x+2)^2 + (y+4)^2=2}\)
l: y=-x+m

z gory dzieki

[Tristan]

Poprawiłem temat i posta. Zapoznaj się z regulaminem ( nazwy tematów i Tex).

Zad.1
Szukane równanie okręgu to \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)
Skoro punkty A i B należą do okręgu to spełniają jego równanie, więc mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}(3-a)^2+(-b)^2=r^2\\(4-a)^2 +(1-b)^2=r^2 \end{array}}\)
Odejmując stronami otrzymamy, że \(\displaystyle{ a+b=4}\). Szukany środek orkęgu \(\displaystyle{ S=(a,b)}\) leży na prostej k: y=2x+4, więc punkt \(\displaystyle{ S=(a, 4-a)}\) spełnia jego równanie. Czyli \(\displaystyle{ 4-a=2a+4}\), skąd mamy \(\displaystyle{ a=0}\). Podstawiając otrzymujemy od razu, że \(\displaystyle{ b=4}\) oraz \(\displaystyle{ r=5}\), więc szukane równanie okręgu ma postać: \(\displaystyle{ x^2 +(y-4)^2=25}\).

Zad.2
Szukamy równań dwóch prostych:
\(\displaystyle{ m: y=-3x+b_{1}}\)
\(\displaystyle{ n: y=-3x+b_{2}}\)
Przekształćmy równanie okręgu:
\(\displaystyle{ x^2 +y^2 -2x-15=0}\)
\(\displaystyle{ x^2-2x+1+y^2-16=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2+y^2=16}\)
Równania prostych muszą razem z tym równaniem tworzyć układ, który ma jedno rozwiązanie, skoro proste mają być styczne do okręgu, czyli:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} (x-1)^2 +y^2=16 \\ y=-3x+b \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} x^2 -2x+1 + ( -3x+b)^2=16 \\ y=-3x+b \end{array}}\)
Zajmując się tym pierwszym równaniem otrzymamy, że \(\displaystyle{ 10x^2-(6b+2)x +b^2-15=0}\). Zauważmy, że nasz nie interesują rozwiązania tego równania a jedynie fakt, że ma być ono jedno, czyli spełniony musi być warunek \(\displaystyle{ \Delta=0}\). Stąd układamy równanie \(\displaystyle{ (6b-2)^2 -40(b^2-15)=0}\). Otrzymujemy, że \(\displaystyle{ b^2-6b-151=0}\), czyli \(\displaystyle{ b_{1}=3- 4 \sqrt{10}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{2}=3+ 4 \sqrt{10}}\), więc równania szukanych stycznych to:
\(\displaystyle{ m: y=-3x +3-4 \sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ n: y=-3x+3+4 \sqrt{10}}\)

Zad.3
Tutaj postępujesz podobonie jak w zadaniu drugim. Tworzysz układ równań, do jednego wstawiasz igrek, dochodzisz do równania z iksami i jeżeli równanie ma \(\displaystyle{ \Delta>0}\) to dana prosta przecina okrąg w dwóch punktach. Jeśli \(\displaystyle{ \Delta=0}\) to prosta jest styczną do okręgu i przecina go w jednym punkcie, a jeśli \(\displaystyle{ \Delta }\)

[prt]

wielki dzieki, z tymi trzema zadaniami nie moglem sobie poradzic a byly mi potrzebne do sprawdzianu, jeszcze raz dzieki