geometria analityczna

[mateusz193]

W prostokacie ABCD dane sa: wierzcholek C(-2, 2) i wektor AB = [3, 3]. Wyznacz rownania prostych, zawierajacych przekatne tego prostakata, jesli wiadomo, ze wierzcholek A nalezy do prostej o rownaniu x-2y=0.

prosze o pomoc:)

[spammer]

Siemka.

Narysowałbym Ci do tego rysunek, ale mam nadzieję, że umiesz (jak nie to pisz to narysuję ).

Tak więc:

Z rysunku łatwo można zobaczyć, że \(\displaystyle{ \vec{DC} = \vec{AB}\prime}\) łatwo wyliczyć punkt \(\displaystyle{ D = ( x_{D}, y_{D})}\)

\(\displaystyle{ [3,3] = [-2 - x_{D},2 - y_{D}] \rightarrow D=(-5,-1)}\)

Aby wyznaczyć punkt \(\displaystyle{ A}\) musimy znaleźć na danej prostej punkt \(\displaystyle{ A=(2 y_{A},y_{A})}\), żeby wktory \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{DA}}\) były prostopadłe.

Jedziemy:

\(\displaystyle{ 0 = \vec{AB} \circ \vec{DA} = [3,3] \circ [2 y_{A} + 5, y_{a} + 1] = 6y_{A} + 15 + 3y_{A} + 3 = -y_{a} + 18y_A = -2 \rightarrow A=(-4,-2)}\)

Teraz wyliczamy \(\displaystyle{ B=(x_{B},y_{b})}\):
\(\displaystyle{ [3,3] = \vec{AB} = [x_{B} + 4,y_{b} + 2] \rightarrow B=(-1,1).}\)

Teraz trzeba jeszcze napisać równania przekątnych - chyba można wykorzystać wzór na przechodzącą przez dwa punkty \(\displaystyle{ A = (x_{A},y_{A})}\) i \(\displaystyle{ B=(x_{B},y_{B}):}\)
\(\displaystyle{ (y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{B})(x - x_{A})=0}\)

Zatem.
\(\displaystyle{ AC:}\)
\(\displaystyle{ (y+2)(-2+4)-(2+2)(x+4)=0}\)
\(\displaystyle{ 2y+4-4x-16=0}\)
\(\displaystyle{ y-2x-6=0}\).

\(\displaystyle{ DB:}\)
\(\displaystyle{ (y+1)(-1+5)-(1+1)(x+5)=0}\)
\(\displaystyle{ 4y+4-2x-10=0}\)
\(\displaystyle{ 2y-x-3=0}\)

KONIEC

[mateusz193]

wielkie dzieki:)