równanie prostej

[maciek2000221]

dany jest punkt A =(-1,2)
Znajdź równanie tej prostej, na której osie układu wspołrządnych ograniczają odcinek o środku w punkcie A oraz znajdź równanie takiej prostej przechodzacej przez punkt A,że odległość początku ukladu współrządnych od tej prostej jest równe 1

[Tristan]

a) Oznaczmy sobie ten odcinek ogranioczony osiami układu współrzędnych jako BC. Wiemy, że \(\displaystyle{ B=(x_{B}; 0), C=(0; y_{C})}\). Skoro punkt A jest środkiem odcinka BC, to zachodzi \(\displaystyle{ \frac{x_{B}+x_{C}}{2}=-1; \frac{y_{B}+y_{C}}{2}=2}\) i podstawiając otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x_{B}=-2, y_{C}=4}\), więc mamy współrzędne punktów B i C. Teraz już bez problemu obliczymy równanie prostej i otrzymamy \(\displaystyle{ y=2x+4}\).

b) Twierdzenie: Odległość \(\displaystyle{ d}\) punku \(\displaystyle{ P=(x_{p},y_{p})}\) od prostej o równaniu \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) wyraża się wzorem \(\displaystyle{ d=\frac{|Ax_{p}+By_{p}+C|}{ \sqrt{A^2+B^2}}}\).
Ja chcę równanie kierunkowe prostej, czyli \(\displaystyle{ y=ax+b}\), więc w naszych oznaczeniach \(\displaystyle{ A=-a, B=1, C=-b}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ d=1}\), oraz \(\displaystyle{ P=(0,0)}\). Wiemy również, że punkt A należy do naszej prostej, czyli mamy również równanie \(\displaystyle{ 2=-a+b}\), czyli \(\displaystyle{ b=a+2}\).
Wstawiając dane do wzoru mamy:
\(\displaystyle{ 1=\frac{|-b|}{\sqrt{ (-a)^2+1^2}}}\)
\(\displaystyle{ a^2+1=b^2}\)
\(\displaystyle{ a^2+1=(a+2)^2}\)
\(\displaystyle{ a^2+1=a^2+4a+4}\)
\(\displaystyle{ a=-\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ b=\frac{5}{4}}\)
Więc wzór szukanej prostej to \(\displaystyle{ y=-\frac{3}{4}x+ \frac{5}{4}}\).