Kilka zadań z analitycznej - okręgi, proste, figury

[Bugmenot]

Cześć!
Piszę do was z prośbą o pomoc. Przygotowuję się do matury rozszerzonej z matmy i znalazłem zadania, które sprawiły mi problem.

1.Punkty A=(4,0) i B(7,1) należą do okręgu, którego środek leży na prostej o równaniu ogólnym x-2y+6=0. Napisz równanie okręgu. Znajdź takie punkty C i D należące do okręgu, aby czworokąt ABCD był prostokątem i oblicz jego pole.

Policzyłem promień (\(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\)) z odległości punktu A od prostej. Potem ułożyłem układ równań typu \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\) korzystając z danych punktów i obliczonego promienia. Jednak wyszły mi rozwiązania "brzydkie" czyli typu \(\displaystyle{ (a+b \sqrt{c} /2)}\). Więc chyba gdzieś zrobiłem błąd. Czy ktoś mógłby napisać mi rozwiązania takiego układu? I zupełnie nie wiem jak zrobić pozostałe podpunkty.

2. Środek okręgu przechodzącego przez punkty A=(1,4) i B=(-6,3) leży na osi Ox. Wyznacz równanie tego okręgu i równanie prostej prostopadłej do AB i oddalonej od punktu (0,0) o \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

Tu nie mam za bardzo pomysłu. Zrobiłem rysunek tylko.

3. Okręgi o równaniach \(\displaystyle{ (x+4)^2+9y-3)^2=25 \ i \ x^2+y^2-12x-14y+60=0}\) są symetryczne względem prostej l. Wyznacz jej równanie.

Tu też nie mam pomysłu. Wyznaczyłem środki, promienie i zrobiłem rysunek.

[Justka]

2. Z treści zadania wynika, że środkiem okręgu jest S=(a,0), więc równanie okręgu ma postać \(\displaystyle{ (x-a)^2+y^2=r^2}\). Korzystając z podanych punktów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (1-a)^2+16=r^2 \\ (-6-a)^2+9=r^2\end{cases} \ \Rightarrow \begin{cases} a=-2 \\ r=5 \end{cases}}\).

więc równanie okręgu to oczywiście \(\displaystyle{ (x+2)^2+y^2=25}\).

Prosta k prostopadła do AB ma postać \(\displaystyle{ k: \ y=-7x+b}\). Aby obliczyć \(\displaystyle{ b}\) wystarczy wykorzystać wzór \(\displaystyle{ d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\), gdzie \(\displaystyle{ d=\sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ (x_0,y_0)=(0,0)}\).



W zadaniu pierwszym środek okręgu leży na prostej \(\displaystyle{ x-2y+6=0}\), więc można napisać, że \(\displaystyle{ S=(a, \frac{a}{2}+3)}\). Teraz układamy równanie okręgu \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-\frac{a}{2}-3)^2=r^2}\) i korzystając z podanych punktów otrzymujesz odpowiedni układ równań z dwiema niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ r}\).


W trzecim. Zakładam, że \(\displaystyle{ S_1, S_2}\) to środki okręgów. Musisz wyznaczyć równanie prostej (k) przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ S_1 \ i \ S_2}\). Szukana prosta \(\displaystyle{ l}\) to prosta prostopadła do prostej k i przechodząca przez środek odcinka \(\displaystyle{ S_1 S_2}\).

[Bugmenot]

Dziękuję bardzo za pomoc. Poradziłem sobie ze wszystkim, tylko nie wiem jak zrobić ten prostokąt w zadaniu pierwszym.

[Justka]

Hm, może wykorzystaj fakt, że środek okręgu jest też środkiem przekątnych AC i BD prostokąta, a ponieważ znasz współrzędne A, B i S to z łatwością obliczysz współrzedne pozostałych wierzchołków prostokąta.

Przyda się taki wzór \(\displaystyle{ S=(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})}\).

[Bugmenot]

Dzięki wielkie Wyszło, że jest to kwadrat, a że każdy kwadrat jest prostokątem, więc chyba mam dobrze