trójkąt - pole
-
aniabac1985
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 10 kwie 2006, o 13:17
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
trójkąt - pole
Punkt S=(2,-1) jest srodkiem okegu opisanego na trójkącie ABC. Wierzchołek A ma współrzędne (-3,-1), a bok BC jest zawarty w prostej x+7y-20=0. Oblicz współrzedne wierzchołków B i C oraz oblicz pole tego trójkąta
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
trójkąt - pole
Wyznaczamy sobie najpierw promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, czyli długość odcinka AS. Mamy więc, że \(\displaystyle{ |AS|=R=5}\). Z tego już wiemy, że \(\displaystyle{ |BS|=5}\). Skoro punkty B i C leżą na prostej \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{7}x+\frac{20}{7}}\), to \(\displaystyle{ B=(x_{B}, -\frac{1}{7}x_{B}+\frac{20}{7})}\). Załóżmy, że pierwsza współrzędna punktu B jest mniejsza od pierwszej współrzędnej punktu C. Znając wzór na długość odcinka |BS| układamy równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{ (2-x_{B})^2+(-1+ \frac{1}{7}x_{B} -\frac{20}{7})^2 }=5}\)
\(\displaystyle{ 4-4x_{B}+ x_{B}^2 +(\frac{1}{7}x_{B} - \frac{27}{7})^2=25}\)
Teraz po przekształceniach dochodzimy do równania:
\(\displaystyle{ x_{B}^2 -5x_{B}-6=0}\)
\(\displaystyle{ x_{B}^2+x_{B}-6x_{B}-6=0}\)
\(\displaystyle{ x_{B} (x_{B}+1)-6(x_{B}+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x_{B}+1)(x_{B}-6)=0}\)
\(\displaystyle{ x_{B}=-1 x_{B}=6}\)
Z naszego założenia mamy więc, że \(\displaystyle{ x_{B]=-1}\) oraz \(\displaystyle{ x_{C}=6}\). Teraz w prosty sposób wyliczamy drugie współrzędne punktów B i C otrzymując, że \(\displaystyle{ B=(-1,3), C=(6,2)}\).
Teraz pole trójkąta ABC można obliczyć na kilka sposobów. Ja obliczę, korzystając z wzoru \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}}\), gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie ABC oraz a=|AB|, b=|BC|, c=|CA|. W prosty sposób obliczamy długości, otrzymując, że \(\displaystyle{ a=2 \sqrt{5}, b=5 \sqrt{2}, c=3 \sqrt{10}}\). Podstawiając do wzoru obliczamy, że \(\displaystyle{ P=15}\).
\(\displaystyle{ \sqrt{ (2-x_{B})^2+(-1+ \frac{1}{7}x_{B} -\frac{20}{7})^2 }=5}\)
\(\displaystyle{ 4-4x_{B}+ x_{B}^2 +(\frac{1}{7}x_{B} - \frac{27}{7})^2=25}\)
Teraz po przekształceniach dochodzimy do równania:
\(\displaystyle{ x_{B}^2 -5x_{B}-6=0}\)
\(\displaystyle{ x_{B}^2+x_{B}-6x_{B}-6=0}\)
\(\displaystyle{ x_{B} (x_{B}+1)-6(x_{B}+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x_{B}+1)(x_{B}-6)=0}\)
\(\displaystyle{ x_{B}=-1 x_{B}=6}\)
Z naszego założenia mamy więc, że \(\displaystyle{ x_{B]=-1}\) oraz \(\displaystyle{ x_{C}=6}\). Teraz w prosty sposób wyliczamy drugie współrzędne punktów B i C otrzymując, że \(\displaystyle{ B=(-1,3), C=(6,2)}\).
Teraz pole trójkąta ABC można obliczyć na kilka sposobów. Ja obliczę, korzystając z wzoru \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}}\), gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie ABC oraz a=|AB|, b=|BC|, c=|CA|. W prosty sposób obliczamy długości, otrzymując, że \(\displaystyle{ a=2 \sqrt{5}, b=5 \sqrt{2}, c=3 \sqrt{10}}\). Podstawiając do wzoru obliczamy, że \(\displaystyle{ P=15}\).
-
darekrby
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 19 kwie 2006, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydzia
- Pomógł: 2 razy
trójkąt - pole
Dodam tylko, ze ja bym to liczyl inaczej. Wiadomo w geometri analitycznej jest zawsze kilka sposobow. Szybciej jak juz mamy r jest napisac rownanie okregu
(x-2)(x-2) + (y+1)(y+1)=25 i uklad rownan z rownaniem x+7y-20 otrzymamy 2 mozliwe rozwiazania i te rozw. sa punktami B i C ktorych szukamy. Pole trojkata kiedy znamy wsp. 3 wiercholkow najszybciej jest policzyc wektorami. czyli wektor AB=[2,4] AC=[9,3] mnozymy na skos oczywiscie pamietajac o module i dzielimy przez 2.
(x-2)(x-2) + (y+1)(y+1)=25 i uklad rownan z rownaniem x+7y-20 otrzymamy 2 mozliwe rozwiazania i te rozw. sa punktami B i C ktorych szukamy. Pole trojkata kiedy znamy wsp. 3 wiercholkow najszybciej jest policzyc wektorami. czyli wektor AB=[2,4] AC=[9,3] mnozymy na skos oczywiscie pamietajac o module i dzielimy przez 2.