Równe pola

[oliwszczak]

Na płaszczyźnie dane są punkty \(\displaystyle{ A(0,5)}\) \(\displaystyle{ B(5,4)}\) \(\displaystyle{ C(3,6)}\) \(\displaystyle{ D(0,8)}\). Przez punkt \(\displaystyle{ D}\) poprowadzono prostą \(\displaystyle{ k}\) prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ AB}\). Znajdź na prostej \(\displaystyle{ k}\) taki punkt \(\displaystyle{ E}\), by pola trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ABE}\) były równe.

[Sherlock]

Można to rozwiązać w ten sposób.

I ETAP - liczymy pole trójkąta ABC
1. Wyznacz wzór prostej AB.
2. Oblicz długość odcinka |AB|.
3. Wyznacz wzór prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C - ta prosta zawiera wysokość opadającą na bok AB.
4. Wyznacz punkt przecięcia się prostej AB z prostą z punktu 3. Oznaczmy ten punkt F.
5. Oblicz długość wysokości czyli |CF|.
6. Policz pole trójkąta ABC.

II ETAP - szukamy punktu E na prostej k, tak by \(\displaystyle{ P_{\Delta ABC}=P_{\Delta ABE}}\).
1. Zerknij na rysunek, zauważ, że pole ABE:
\(\displaystyle{ P_{\Delta ABE}= \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |EG|}\)
Pole znasz (jest takie jak dla trójkąta ABC), |AB| znasz. Wylicz zatem |EG|.
2. Wyznacz współrzędne punktu G - to punkt przecięcia się prostej AB i prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt D (prosta k).
3. Ze wzoru na długość odcinka wyznacz współrzędne punktu a raczej punktów E i E' (drugi punkt będzie "pod" prostą AB)