Algebra wektorów

[KondzioDz]

Witam,

Mam problem z dwoma zadaniami które otrzymałem na mechanice dotyczą one wektorów a akurat w te klocki nie jestem za dobry. Bardzo proszę więc o Wasze cenne wskazówki w jaki sposób rozwiazać te zadania bądź inną pomoc. Ja również chętnie pomogę ale nie w tym zagadnieniu.

1. Wyznacz \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), dla których wektor \(\displaystyle{ a = [2, y,z]}\) jest prostopadły do dwóch wektorów \(\displaystyle{ b =[-1, 4,2]}\) i \(\displaystyle{ c=[3,-3,1]}\). Jakie kąty tworzy wektor \(\displaystyle{ a}\) z wektorami \(\displaystyle{ b + c}\) oraz \(\displaystyle{ a - 2b + 3c}\) ?

2. Obliczyć objętność i pole powierzchni ścian czworościanu \(\displaystyle{ ABCD}\), jeżeli jego wierzchołki mają następujące współrzędne: \(\displaystyle{ A(3,1,1), \ B (1,4,1), \ C(1,1,7)}\) i \(\displaystyle{ D(3,4,9)}\)


Dodam że nigdy nie miałem styczności z zadaniami tego typu więc od kilku godzin staram się poratować suchą teoria...

Pomozecie ?

[Kamil_B]

Zad. 1

Korzystając z właśności iloczynu wektorowego wektorów mamy:
\(\displaystyle{ \vec{a} =\vec{b} \times \vec{c}}\)
Stąd wyznaczamy potrzebne wartości wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) korzystajac z odpowiedniego wzoru (może byc ten z wyznacznikiem).

Jakie kąty tworzy wektor a z wektorami b + c oraz a - 2b + 3c ?

Skorzystaj z włąsności iloczynu skalarnego tj:
\(\displaystyle{ a \circ b=|a|\cdot |b|cos \sphericalangle (a,b)}\)
oraz z tego, że \(\displaystyle{ a\circ b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}\) dla \(\displaystyle{ a=(a_{1},a_{2}), b=(b_{1},b_{2})}\)

Zad. 2

Skorzystaj z własności iloczynu mieszanego wektorów do obliczenia objętości tego czworościanu.
Do obliczenia powierzchni policz powierzchnię każdej ze ścian osobno np. z tego wzoru wyznacznikowego na pole trójkąta a potem zsumuj.