Okrąg i jego styczne
-
- Użytkownik
- Posty: 212
- Rejestracja: 29 sty 2008, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 24 razy
Okrąg i jego styczne
Cześć!
Mam problem z dwoma zadaniami z geometrii analitycznej dotyczącymi okręgu i jego stycznych.
1. Do okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2+2x-19=0}\) z punktu \(\displaystyle{ A=(1,6)}\) poprowadzono styczne. Napisz równania tych stycznych i oblicz pole trójkąta ograniczonego prostymi stycznymi oraz prostą \(\displaystyle{ 6x+13y+16=0}\)
Tutaj zrobiłem rysunek, znalazłem środek i promień okręgu, stwierdziłem, że proste są do siebie prostopadłe i punkt A należy do obu prostych oraz odległości tych prostych od środka okręgu są sobie równe i są równe promieniowi okręgu. Co dalej - nie wiem.
2. Z punktu \(\displaystyle{ A=(4,-4)}\) poprowadzono styczne do okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2-6x+2y+5=0}\). Oblicz długość odcinka BC łączącego punkty styczności, pole trójkąta ABC, pole czworokąta ACSB, gdzie S jest środkiem okręgu.
Tu oprócz rysunku i znalezienia środka i promienia okręgu nie mam nic.
Pokornie proszę o pomoc przy tych zadaniach
Mam problem z dwoma zadaniami z geometrii analitycznej dotyczącymi okręgu i jego stycznych.
1. Do okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2+2x-19=0}\) z punktu \(\displaystyle{ A=(1,6)}\) poprowadzono styczne. Napisz równania tych stycznych i oblicz pole trójkąta ograniczonego prostymi stycznymi oraz prostą \(\displaystyle{ 6x+13y+16=0}\)
Tutaj zrobiłem rysunek, znalazłem środek i promień okręgu, stwierdziłem, że proste są do siebie prostopadłe i punkt A należy do obu prostych oraz odległości tych prostych od środka okręgu są sobie równe i są równe promieniowi okręgu. Co dalej - nie wiem.
2. Z punktu \(\displaystyle{ A=(4,-4)}\) poprowadzono styczne do okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2-6x+2y+5=0}\). Oblicz długość odcinka BC łączącego punkty styczności, pole trójkąta ABC, pole czworokąta ACSB, gdzie S jest środkiem okręgu.
Tu oprócz rysunku i znalezienia środka i promienia okręgu nie mam nic.
Pokornie proszę o pomoc przy tych zadaniach
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Okrąg i jego styczne
Jeśli masz punkt przez jaki przechodzi prosta (dowolna) to w jej równaniu jest tylko jedna niewiadoma ((a) albo (b) - w zależności co zostawisz).
Jak wyznaczyć styczną :
1. sposób - układ równań okrąg styczna (w jej równaniu parametr) ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.
2. sposób - odległość szukanej stycznej od środka okręgu = promieniowi.
Jak wyznaczyć styczną :
1. sposób - układ równań okrąg styczna (w jej równaniu parametr) ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.
2. sposób - odległość szukanej stycznej od środka okręgu = promieniowi.
-
- Użytkownik
- Posty: 212
- Rejestracja: 29 sty 2008, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 24 razy
Okrąg i jego styczne
No wiem jak teoretycznie można wyznaczyć te styczne, ale nie za bardzo wiem, jak ma to wyglądać w praktyce w tym zadaniu. Pierwsza prosta to będzie \(\displaystyle{ y=ax+b}\) a druga \(\displaystyle{ y=-1/a (x)+b}\)? I potem mam wyznaczyć jedną niewiadomą i podstawić w miejsce drugiej, potem zastosować ten wzór na odległość lub zrobić układ równań i wyjdą mi równania, tak? A jak policzyć pole tego trójkąta?
I zupełnie nie wiem jak zabrać się za drugie zadanie.
I zupełnie nie wiem jak zabrać się za drugie zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Okrąg i jego styczne
Zad. 1. Szukane styczne są postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\); ponieważ przechodzą przez \(\displaystyle{ A(1;6)}\) współrzędne punktu spełniają równanie prostej (prostych).piasek101 pisze:Jeśli masz punkt przez jaki przechodzi prosta (dowolna) to w jej równaniu jest tylko jedna niewiadoma ((a) albo (b) - w zależności co zostawisz).
Mamy :
\(\displaystyle{ 6=a\cdot 1 +b}\) z tego np \(\displaystyle{ b=6-a}\)
Zgodnie z tym co cytuję, w równaniu szukanych stycznych \(\displaystyle{ y=ax+(6-a)}\) brak nam tylko (a).
Dalszy sposób (sposoby) postępowania podałem wcześniej.
Wyznacz styczne, potem punkty styczności (rozwiązać układ równań : styczna - okrąg; dostajesz punkt styczności).Bugmenot pisze: I zupełnie nie wiem jak zabrać się za drugie zadanie.
Mając punkty wyznaczasz odległości między nimi.
-
- Użytkownik
- Posty: 212
- Rejestracja: 29 sty 2008, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 24 razy
Okrąg i jego styczne
No dobra, ale przy rozwiązywaniu tego, że odległość punktu od prostej jest równa promieniowi wychodzą mi jakieś bzdury, a w książce jest ładne rozwiązanie (bez żadnych pierwiastków, itp.). Czy ktoś mógłby po kolei wszystkie kroki rozwiązania 1 i 2 zadania rozpisać?
-
- Użytkownik
- Posty: 212
- Rejestracja: 29 sty 2008, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 24 razy
Okrąg i jego styczne
No dobra, jakoś rozwiązałem pierwsze zadanie. Jednak w drugim zadaniu pierwsza styczna wychodzi mi y=-4 co nie zgadza się z rysunkiem ani odpowiedziami.
Liczę tak:
\(\displaystyle{ k: y=ax+b}\) i A należy do do k
\(\displaystyle{ A=(4,-4)}\)
\(\displaystyle{ -4=4a+b => b=-4-4a}\)
\(\displaystyle{ y=4a+(-4-4a)}\)
\(\displaystyle{ y=-4}\)
Co jest nie tak?
Liczę tak:
\(\displaystyle{ k: y=ax+b}\) i A należy do do k
\(\displaystyle{ A=(4,-4)}\)
\(\displaystyle{ -4=4a+b => b=-4-4a}\)
\(\displaystyle{ y=4a+(-4-4a)}\)
\(\displaystyle{ y=-4}\)
Co jest nie tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Okrąg i jego styczne
Zgubiłeś (x) - sa i zamiast (a) masz (4a).Bugmenot pisze:...
\(\displaystyle{ y=4a+(-4-4a)}\)
\(\displaystyle{ y=-4}\)
Co jest nie tak?
Szukana to :
\(\displaystyle{ y=ax+(-4-4a)}\)